WisFaq!

Re: Goniometrische vergelijking

Hoe zijn we zeker dat dit de enige oplossingen zijn?

Frans Cools
6-1-2005

Antwoord

We hadden:
sin(x)+cos(x)+2sin²(x)cos²(x)=1
Dus
sin(x)+cos(x)=1-2sin²(x)cos²(x)
sin(x)+cos(x)=1-¹/₂sin²(2x)

(sin(x)+cos(x))²=sin²(x)+cos²(x)+2sin(x)cos(x)=1+sin(2x)
Omdat 1-¹/₂sin²(2x)0 kiezen we de positieve wortel en we krijgen:

Ö(1+sin(2x))=1-¹/₂sin²(2x).
Kiezen we nu u=sin(2x) dan krijgen we
Ö(1+u)=1-¹/₂u², waarbij moet gelden -1u1.
Omdat voor u0 geldt Ö(1+u)1 en 1-¹/₂sin²(2x)1 zijn er geen oplossingen voor u0.
Verder is in te zien dat u=0 een oplossing is. Deze oplossing komt overeen met de gevallen die in de vorige vraag zijn onderzocht.
Rest om aan te tonen dat er geen andere oplossingen zijn voor -1u0.
Links en rechts kwadrateren levert:
1+u=(1-¹/₂u²)²
1+u=1-u²+¹/₄u^4
1/₄u⁴-u²-u=0
u=0 hebben we al, dus we gaan na of voor -1u0
¹/₄u³-u-1=0 oplossingen heeft.
Differentieren levert ³/₄u²-1=0 dus de toppen zijn voor u=±Ö⁴/₃.
Voor u=-Ö⁴/₃ is er een maximum. Berekenen van dit extreem levert een negatieve waarde op voor dit maximum.
Conclusie: er zijn op -1u0 geen nulpunten.
Dus de gevonden oplossingen zijn de enige.

hk
10-1-2005