WisFaq!

Opstellen van de vergelijkingen van de raaklijnen aan cirkel door punt

Hallo

Mijn vraag gaat over het opstellen van de vergelijking van de raaklijnen aan een cirkel door een punt buiten de cirkel gelegen.

Ik schets de opdracht even, met mijn antwoorden:

opgave:
vergelijking cirkel: (x-2)² + (y+3)² = 16
Punt buiten de cirkel: co(P) = (6,3)
bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen

oplossing:
1) co middelpunt = (2,-3)
straal = 4

2) basisvergelijking raaklijn t, door co(P) in te vullen:
t: y - y0 = m(x - x0)
...
t: mx - y -6m + 3 = 0 = de algemene vergelijking

3) d(M,t) = (|m.2 + 3 -6m + 3|) / "wortel"(m²+1) = 4 (namelijk de straal)
Werk je dit verder uit dan bekom je voor m: 5/12

Vul je dat in in 3), dan heb je de eerste vergelijking van de raaklijn.

MAAAR! Er moet nog een tweede raaklijn zijn, aangezien dat punt buiten de cirkel ligt...
Waarschijnlijk een rechte evenwijdig met de Y-as aangezien hiervoor de richtingscoëfficiënt niet bestaat...

Maar hoe weet je nu de vergelijking van deze 2 raaklijn?
Ik redeneer vanuit M(2,-3) en straal =4: dan bekom je x=6 of x=-2...

Maar welke is nu de correcte van de twee? Anders heb ik drie raaklijnen.

Bedankt

Miguel
5-1-2005

Antwoord

Je hebt het correct dat wanneer een punt zich buiten een cirkel bevindt, dat er vanuit dit punt dan *altijd* 2 raaklijnen getekend kunnen worden aan die cirkel. Niet meer en ook niet minder dan 2.

De eerste raaklijn heeft inderdaad richtingscoëfficiënt 5/12.
De tweede raaklijn, dat vermoedde je al, loopt verticaal.
Hoe check je dat?
Wel, het middelpunt van de cirkel is M(2,-3)
Dit volgt direct uit de vergelijking van de cirkel.
Wat eveneens direct uit dezelfde cirkelvergelijking volgt, is de straal: r = Ö16 = 4
Dus het meest linkerpunt van de cirkel ligt op A(-2,-3) en het rechterpunt op B(6,-3)
En laat dit rechterpunt B van de cirkel nou PAL ONDER P(6,3) liggen.

En de vergelijking van de verticale lijn met x-coördinaat 6 is simpelweg:

x=6

groeten,
martijn

mg
5-1-2005