WisFaq!

Waarnaar convergeert deze reeks?

Waarnaar convergeert deze reeks: $\sum$1/nⁿ ?
dus: 1+1/4+1/27+1/4⁴+...
Dat de reeks convergeert heb ik makkelijk met zowel Cauchy als D'Alembert kunnen aantonen. Toch vraag ik me af of deze reeks niet naar een specifiek getal convergeert, bv. een natuurlijk logaritme van een getal, of een e-macht of een wortel...
Dank bij voorbaat

Frederik De Bruyn
2-1-2005

Antwoord

Er komt geen `mooi' getal uit; wat er wel uit komt is een integraal: de integraal van x^-x van 0 tot 1.
Dat kun je bewijzen door x^-x te schrijven als e^{-x ln x}, dat met de machtreeks voor de e-macht om te werken als de som( (-x·ln x)ⁿ, n=0..oneindig). Door dit term-voor-term te integreren krijg je het antwoord.

kphart
3-1-2005