WisFaq!

Onbepaalde coefficienten

hoi ik heb nog een vraagje bij de oefeningen met onbepaalde coefficienten

hoe weet je namelijk welke structuur de particuliere oplossing zal hebben.

voorbeeld bij y"-y'=sinx is dat yp= Acosx + Bsinx
en bij y"-4y'+5y=e^(2x)sinx is yp = (Ax+b)e^(2x)cosx+(Ex+F)e^(2x)sinx

dit moet je vinden door te kijken naar het getal a+bi en dan daaruit de multipliciteit uit te halen maar dat begrijp ik nu juist niet.
Kunnen jullie dat ees aantonen bij deze 2 voorbeeldjes,zodat ik dat nog wat verder kan inoefenen.

Dank bij voorbaat

olivier
29-12-2004

Antwoord

dag Olivier

In het 'normale' geval kun je voor de particuliere oplossing als vuistregel nemen: yp is van de vorm van het rechterlid en al zijn afgeleiden.
In je eerste voorbeeld is het rechterlid gelijk aan sin(x).
Kies dus yp in de vorm van sin(x) en al zijn afgeleiden.
Nu ben je daar snel mee klaar, want na cos(x) kom je alweer terecht bij sin(x), weliswaar met een min-teken, maar dat vang je op met de constanten.
Dus: yp = A·sin(x) + B·cos(x)
(of andersom natuurlijk).
In het tweede voorbeeld zit er nog een addertje onder het gras.
Je zit hier namelijk met het probleem, dat het rechterlid zelf een van de oplossingen is van de homogene vergelijking.
Dat betekent dat invullen in het linkerlid altijd 0 oplevert, en NIET de gewenste functie van het rechterlid.
In dat geval moet je elk van de termen van de yp van de vuistregel ook nog eens vermenigvuldigen met een algemene eerstegraadsvorm.
Daar komt dus die Ax+B vandaan (en die Ex+F).
Zie je dat in jouw tweede voorbeeld het rechterlid juist een van de homogene oplossingen is?

Het kan nog erger: als een homogene oplossing bijvoorbeeld multipliciteit 2 heeft, en je rechterlid is een van deze oplossingen dan helpt die eerstegraadsvorm ook al niet meer, en dan moet je zelfs een tweedegraadsvorm nemen.
Dat wordt allemaal erg veel werk, maar het lukt uiteindelijk wel.
Ik hoop dat je hier wat aan hebt.

Anneke
30-12-2004