WisFaq!

Eindig voortgebrachte Abelse groepen

Hallo wisfaq,

Ik wil graag aantonen of de abelse groepen
1.Q (de rationale getallen),
2.R (de reele getallen)
3.Q/Z (Z de gehele getallen),
4.en de multiplicatieve groepen Q* en Z*,
eindig voortgebracht zijn en of ze torsievrij zijn.

Ik gebruik de volgende definities:
Een deelverzameling S van een abelse groep A brengt de groep A voort indien ieder element x in A geschreven kan worden als een som x=som[c_s*s], som over alle s in S.

Een abelse groep heet eindig voortgebracht als er een eindige deelverzameling S in A bestaat die A voortbrengt.

Een abelse groep A waarin elk element a ongelijk aan 0 oneindige orde heeft heet torsievrij.

Vriendelijke groeten,
Viky

viky
29-12-2004

Antwoord

1. Niet eindig voortgebracht, wel torsievrij.
Torsievrij is eenvoudig: als q!=0 dan is nq!=0 als n!=0.
Niet eindig voortgebracht: bekijk eerst een eenvoudig geval: de ondergroep voortgebracht door ¹/₂ en ²/₃, als je de elementen daarvan in hun eenvoudigste vorm brengt dan zijn hun noemers producten van machten van 2 en 3; daarom zit ¹/₇ bijvoorbeeld niet in die ondergroep. In het algemeen, als je eindig veel breuken hebt, zeg q₁, q₂, ..., q_n en M is het product van all hun noemers dan zit ¹/_(M+1) niet in de groep voortgebracht door die breuken.

2. Niet eindig voortgebracht, wel torsievrij.
Torsievrij: als boven.
Niet eindig voortgebracht: elke eindig voortgebrachte groep is aftelbaar maar R is dat niet.

3. Niet eindig voortgebracht, niet torsievrij.
Niet eindig voortgebracht: als in 1, met rekenen modulo 1.
Niet torsievrij: de orde van ¹/₂ is 2.

4. Z*: bedoel je de getallen ongelijk nul in Z? Dat is geen groep.

4. Q*: niet eindig voortgebracht, wel torsievrij.
Torsievrij: als q!=1 en n!=0 dan geldt qⁿ!=1.
Niet eindig voortgebracht: min of meer als in 1, maar nu met producten: een element van de voortgebrachte groep is een product van machten van de q_i; daaruit volgt dan weer dat ¹/_(M+1) niet in die ondergroep zit.

kphart
18-1-2005