WisFaq!

Korte exacte rijtjes

Hallo wisfaq,

Zij gegeven het volgende commutatieve diagram van abelse groepen waarvan de rijen korte exacte rijtjes zijn.

0 - A1 - B1 - C1 - 0
|a |b |c
0 - A2 - B2 - C2 - 0

Met A1 bedoel ik de afbeelding a:A1-A2
|a
A2
Ik wil bewijzen dat b injectief (resp. surjectief) is als a en c het zijn.En hieruit moet ik dan concluderen dat b een isomorfisme is als a en c het zijn.

Ik gebruik de volgende stuk theorie, maar het lukt mij niet om hiermee het vraagstuk op te lossen:

1.Gegeven groepshomomorfismen f:A-B en g:B-C zeggen we dat het rijtje f g
A - B - C
exact is (bij B) als im f=ker g.

2.Heb je het exacte rijtje 1 - B - C, dan ker(g)={1}
g is dan injectief

3.het exacte rijtje A - B - 1 betekent dat het hom f surjectief is.

4.Een kort exact rijtje is van de vorm
1 - A - B - C - 1

Vriendelijke groeten en een fijne jaarwisseling,
Viky

viky
29-12-2004

Antwoord

Hallo Viky,

Eerst een beetje naamgeving: noem de vier pijlen in de bovenste rij respectievelijk d,e,f,g en de vier pijlen in de onderste rij h,i,j,k.

Je weet uit eigenschappen 2 en 3 dat e en i injectief zijn, en dat f en j surjectief zijn.

Nu, stel dat a en c surjectief zijn. Te bewijzen is dat b surjectief is. Kies dus een x in B2 en probeer een element y in B1 te vinden zodat b(y)=x.

Vertrek bij x in B2. j(x) is een element van C2. c is surjectief, dus bestaat er zeker een element z in C1 zodat c(z)=j(x). Maar f is surjectief, dus bestaat er een element y in B1 zodat f(y)=z.

Vermits het diagramma commuteert, moet nu b(y)=x, zodat b surjectief is.

En dan de injectiviteit van b. Die kan je aantonen door te bewijzen dat de kern van b enkel de nul bevat. Stel dus dat je een x verschillend van nul in B1 hebt waarvoor b(x)=0, we zoeken een ongerijmdheid.

Als x Î im(e) dan bestaat er een t in A1 waarvoor e(t)=x. Vermits a injectief is, moet a(t)=u, een element verschillend van nul in A2. En vermits i injectief is, moet i(u) verschillen van nul. Echter, wegens commutativitiet zou i(u)=0 moeten zijn.

Als x Ï im(e) dan is x Ï ker(f). Dus f(x)=t, verschillend van 0 in C1. c is injectief, dus c(t)=u verschilt van nul in C2. j is surjectief, dus er bestaat een v in B2, verschillend van nul waarvoor j(v)=u. Echter, wegens commutativiteit zou v=0 moeten zijn.


Op die manier is bewezen dat als a en c injectief en surjectief zijn, dat dan b ook injectief en surjectief is, met andere woorden als a en c isomorfismen zijn, is b er ook één.

Groeten,
Christophe.

Christophe
29-12-2004