WisFaq!

Afgeleide boogcosinus (bewijs)

Hoi,
We moesten de afgeleide berekenen van boogcosinus X.
Ik kwam uit op -1/√(1-x²)
Maar nu moeten we dat ook nog kunnen bewijzen!
Gaat dit met de definitie van afgeleiden?
Dus met lim f(x+h) - f(x) enz... of kan het ook met een goniometrische cirkel?
Dank bij voorbaat

Tjerr
26-12-2004

Antwoord

per definitie is
arccos(cos(x))=x
dus

d/dx {arccos(cos(x))} ·moet· gelijk zijn aan 1:
d/dx {arccos(cos(x))} = 1

wegens de kettingregel is
d/dx {arccos(cos(x))}
= d/d(cosx) {arccos(cos(x))}· d/dx {cosx}
= d/d(cosx) {arccos(cos(x))}·-sinx

en wegens sin²x+cos²x=1 is sinx=√(1-cos²x)

d/dx {arccos(cos(x))}
= d/d(cosx) {arccos(cos(x))}·-√(1-cos²x)
en dit moest gelijk zijn aan 1.
dus
d/d(cosx) {arccos(cos(x))}·-√(1-cos²x) = 1 $\Leftrightarrow$
d/d(cosx) {arccos(cos(x))} = 1/-√(1-cos²x)

in feite staat hier:
d/dY {arccos(Y)} = -1/√(1-Y²)

hetgeen precies hetzelfde is als:
d/dx arccos(x) = -1/√(1-x²)

groeten,
martijn

mg
26-12-2004