WisFaq!

2 formules samenbrengen tot een abc-formule

Hoi,

Ik ben bezig met een werkstuk over computergraphics en haal mijn wiskundige informatie daarvoor uit Engelse boeken.
Maar nu ben ik daar een vergelijking in tegengekomen die ik niet begrijp.

Hij gaat over het definieren van een lijn, in een "ax+by+c=0"-constructie. De lijn begint op punt (X1,Y1) en eindigt op (X2,Y2). De "gradient", de tangensq van de driehoek waarvan de schuine zijde dus De Lijn is, wordt m genoemd.

Nu geldt dus:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

Waarop het boek zegt:

"In classical coordinate geometry this line is

y-Y1 = m(x-X1)"

Ik begrijp dat dit een verdraaiing is van de eerstgenoemde formule, maar daarna willen ze het geheel "ax+by+c" maken en zeggen ze:

"Substituting for m and tidying up the equation to get zero on the right hand side gives

(Y2-Y1)x + (X1-X2)y + X2Y1 - Y2X1 = 0"


Kunnen jullie me alsjeblieft vertellen hoe
y-Y1 = m(x-X1)
en
m=(Y2-Y1)/(X2-X1)
samen
(Y2-Y1)x + (X1-X2)y + X2Y1 - Y2X1 = 0
kunnen worden..? Ik heb al veel geprobeerd, voornamelijk vanuit de formule
y-Y1 = ((Y2-Y1)/(X2-X1))(x-X1)
die je krijgt als je de 2 eerste formules combineert. Maar ik kom er niet uit.

Mvg

Alex

Alex
8-12-2004

Antwoord

Je hebt dus gevonden dat
y-Y1=((Y2-Y1)(x-X1))/(X2-X1)

Nu kan je de noemer uit het rechter lid overbrengen naar het linker lid:

(X2-X1)(y-Y1)=(Y2-Y1)(x-X1)

Deze producten kan je uitschrijven:

X2·y + X1·Y1 - X2·Y1 - X1·y = Y2·x + Y1·X1 - Y2·X1 - Y1·x

Nu breng je alles naar het linker lid (vergeet de tekens niet te wisselen)

X2·y + X1·Y1 - X2·Y1 - X1·y - Y2·x - Y1·X1 + Y2·X1 + Y1·x = 0

De cursieve termen vallen tegenover elkaar weg omdat ze gelijk zijn. Nu schrijf je de termen die x bevatten samen, en de termen die y bevatten samen:

Y1·x - Y2·x + X2·y - X1·y + Y2·X1 - X2·Y1 = 0

En nu zonder je de x en de y af:

(Y1-Y2)x + (X2-X1)y + Y2·X1 - X2·Y1 = 0

En je hebt de gevraagde formule (op het teken na maar het is gelijk aan 0 dus dat is geen probleem)



Koen

km
8-12-2004