WisFaq!

Normale verdelingen van elkaar aftrekken

De opgave:

De weerstandswaarde van weerstanden is normaal verdeeld.
R₁ heeft een verwachtingswaarde van 10 kW en een standaardafwijking van 1,2 kW.
R₂ heeft een verwachtingswaarde van 12 kW en een variantie van 0,81 (kW)².
R₁ en R₂ worden in serie geschakeld.
Bereken de kans dat de spanning over R₁ groter is als de spanning over R₂.

het antwoord is ook bekend, namelijk:

0,0918
dat is als u = 1,33
maar hoe kom je aan die u,
en hoe trek je deze 2 R's zowie zo van elkaar af?

Christiaan
2-12-2004

Antwoord

Als de spanning over R₁ groter is dan de spanning over R₂ dan is R₁$>$R₂.
We nemen nu een nieuwe stochast V=R₁-R₂=R₁+(-R₂).
Als R₁$>$R₂ dan is V$>$0.
Door toepassen van de rekenregels voor stochasten kunnen we nu verwachtingswaarde en standaardafwijking van V berekenen.

Rekenregels:

0)VAR(X)=($\sigma$(X))²
1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)
2)E(cX)=cE(X)
3)$\sigma$(cX)=|c|$\sigma$(x)
4)voor onafhankelijke stochasten geldt:
VAR(X1+X2)=VAR(X1)+VAR(X2)
$\sigma$(X1+X2)=√(($\sigma$(X1))²+($\sigma$(X2))²)


We krijgen dan: E(V)=E(R₁)-E(R₂)=-2
Voor de standaardafwijking moeten we even uitkijken: voor R₁ is de standaardafwijking gegeven, voor R₂ de variantie.
$\sigma$(V)=√(1,2²+0.81)=√2,25=1.5

Dus V is normaal verdeeld met $\mu$=-2 en $\sigma$=1.5.
P(V$>$0)=1-P(V$<$0).
Transformeren via z=(X-$\mu$)/$\sigma$ levert z=(0--2)/1.5=1.3333.
Nu verder opzoeken in tabellenboek, en afronden.

hk
2-12-2004