WisFaq!

Re: Re: Re: Symmetrische polynomen

Hallo Els,

Sorry dat ik je nogmaals iets vraag, ik hoop dat ik het hierna echt begrijp.

1.Zij p1=s2^2=som{T1T2}som{T1T2}=
som{T1^2T2^2} (1)
+2som{T1^2T2T3} (2)
+6som{T1T2T3T4} (3)

Ik begrijp niet goed wat u bedoelt
(2)1 nemen uit de 2, dus 2 over1, en
(3)2 nemen uit de vier
Je neemt r objecten uit een verz van n objecten zonder daarbij op de volgorde te letten.Dus in (2) is n=4, want je moet vier onbekenden hebben.En nu begrijp ik niet dat r=2.Wat is de r in het algemeen hier? Want je kiest twee factoren die elk bestaan uit twee elementen.Dus is r hier het aantal factoren of iets anders?

Het lukte mij niet om het voor andere gevallen ook zo te doen.Kunt u het mij misschien voor nog een geval laten zien?

p2=som{T1T2}som{T1^2}=som{T1^2T2T3}+som{T1^3T2}

2.q1=s1s2=som{T1}som{T1T2}=som{T1^2T2}+3som{T1T2T3}

3.q2=s1s3=som{T1}som{T1T2T3}=som{T1^2T2T3}+4som{T1T2T3T4}

4.Als je P=som{T1^4} berekent kom je o.a. tegen
q3=[som{T1^2}]^2=som{T1^4}+2som{T1^2T2^2}

Groeten en dank voor uw moeite en geduld, Viky

viky
1-12-2004

Antwoord

Je eerste vraag gaat hierover dacht ik:
Dus (åT1T2)2 = (åT1T2)(åT1T2)
= a1*(å(T1T2)(T1T2) %%% 2 aan 2 gelijk (1)
+ a2*(å(T1T2)(T1T3) %%% 1 paar gelijk, 1 paar verschillend (2)
+ a3*(å(T1T2)(T3T4) %%% vier verschillende onbekenden (3)

waarbij (2) 1 gelijk en 1 verschillend paar: je hebt twee mogelijkheden: dat paar verschillende, kan je op (2 over 1)=2 manieren verdelen over de factoren nl: (T1T2)*(T1T3) en (T1T3)*(T1T2)
= a2=2
(3) vier verschillende onbekenden = (4 over 2)=6 mogelijkheden. = a3=6

Laat mij eerst de laatste nemen: Als je in je product van (T1T2)(T1T2) (som over alle mogelijke indices) ergens T1T2T3T4 hebt, dan kan dat van verschillende combinaties komen. Nl (T1T2)(T3T4)=(T1T3)(T2T4)=(T1T4)(T2T3)=(T3T4)(T1T2)=(T2T4)(T1T3)=(T2T3)(T1T4)
waarbij bijvoorbeeld (T2T4)(T1T3) betekent dat je uit de eerste som de term (T2T4) neemt en uit de tweede som de term(T1T3).
En dit zijn de enige zes mogelijkheden.
Dus eigenlijk van zodra de eerste factor vast ligt, ligt alles vast. Je moet er dus twee uit de vier kiezen, wat op 6 manieren kan.

Dan die andere, nr (2).
Je wil een factor T1²T2T3 opnieuw vanuit het product (T1T2)(T3T4). Aangezien elke som opzich uit T1T2 bestaat, betekent dit dat T1² niet van dezelfde som kan komen.
Je hebt dus ofwel (T1T2)(T1T3) ofwel (T1T3)(T1T2)
Dus als (T1*)(T1*) ligt zeker vast, en op de plaats van de sterretjes komen T2 en T3. Als je één van beide gekozen hebt, ligt de andere vast = (2 over 1) mogelijkheden.

Laat mij voor je tweede vraag het tweede voorbeeld nemen:
2) q1=s1s2=som{T1}som{T1T2}=som{T1^2T2}+3som{T1T2T3}

Als je (T1)(T1T2) vermenigvuldigt, (waar we er blijven vanuit gaan dat T1,T2 alle mogelijke indices doorlopen) dan kan je ofwel T1 dubbel hebben ofwel drie verschillende indices. Vandaar de twee sommen.
Als je T1² hebt, dan moet die ene T1 uit de eerste factor komen en die tweede uit de tweede factor, en dus krijg je elke term maar 1 keer.
Als je T1T2T3 hebt, dan kan de eerste factor T1 zijn, en dan de tweede T2T3 of een permutatie hiervan. Maar opnieuw, ligt je eerste factor vast, dan ligt alles vast. Op hoeveel manieren kan je 1 halen uit drie, waarbij de volgorde niet belangrijk is? inderdaad (3 over 1)=3 mogelijkheden.

Versta je het nu? probeer anders zelf nog eens, lukt het niet, schrijf dan op wat je gedaan hebt, en hoe je geredeerd hebt.

Mvg,

Els
2-12-2004