WisFaq!

Re: Nilradicaal

Hallo kphart,

Ik begrijp je uitleg als volgt,
eerst stel je vast hoe de idealen er in R uitzien en vervolgens bekijk je wat de priemidealen dan zijn.Dus,
R is een hoofdideaaldomein dus ieder ideaal is van de vorm
(a).Nu merk je op dat (a) wordt voortgebracht door
g=ggd(a,300).
vraag1.Waarom is dit zo?

vraag2.Dus eigenlijk moet ik lezen: een ideaal I wordt voortgebracht door g, dus een ideaal is van de vorm
I=(g)={xg:x in R}?

vraag3.En 300=2*2*3*5*5, dus a is 2,3 of 5.En hieruit volgt dat g gelijk is aan 2,3 of 5.
Dus de enige mogelijk idealen in R zijn (2),(3) of (5)?

vraag4.En van deze moet ik nagaan welke priem is, er geldt
(p) is een priemideaal d.e.s.d.a. p priem is.
Dus ik moet nagaan of 2,3, of 5 priem zijn in R?
En zo ja, hoe doe ik dat?
En hoe bepaal ik de doorsnede van de priemidealen?

Groeten, Viky

viky
30-11-2004

Antwoord

1. het algoritme van Euclides produceert, in dit geval, twee getallen s en t met g=s*a+t*300; met ander woorden, in Z/300Z geldt g=s*a, dus g zit in (a). Omgekeerd zit a ook in (g), dus (a)=(g)
2. ja
3. nee, a kan elk getal van 0 tot en met 299 zijn en voor g zijn de mogelijkheden: 1, 2, 3, 5, 2*2, 2*3, 2*5, 3*5, 5*5, ... 2*2*3*5*5=300=0
voor elk van die mogelijkheden moet je nagaan of (g) priem is. Wat dan overblijft zijn inderdaad de mogelijkheden g=2,3,5. Bijvoorbeeld: 2 en 5 zitten niet in (2*5) maar hun product wel, dus (10) is niet priem; als x en y niet in (2) zitten zijn ze oneven en hun product ook (ook modulo 300) en dus is (2) wel priem.
Als laatste neem je dan de doorsnede van (2) en (3) en (5): dat zijn alle getallen die zowel een 2- als een 3- als een 5-voud zijn.

kphart
3-12-2004