WisFaq!

Een cylcisch R-moduul

Hoi wisfaq,

Zij S een deelvezameling van een R-moduul M.De deelverzameling
RS={som_{k=1 tot n} {r_ks_k} : r_k in R,s_k in S, n geheel getal =1} van M is het kleinste deelmoduul van M dat S bevat, en heet het deelmoduul voortgebracht door S.
Het moduul M heet eindig voortgebracht als er een eindige deelverz S van M bestaat met RS=M.
Een moduul voortgebracht door een enkel element heet cyclisch.Wordt hier met 'een enkel element' bedoelt echt één element r in R of wordt er iets anders bedoelt?
R zijn de reele getallen.
Ik wil graag laten zien dat R*R*..*R=R^n een cyclisch
Mat_n(R)-moduul is, maar ik begrijp niet hoe dat moet.

Vriendelijke groeten,Viky

viky
30-11-2004

Antwoord

Hoi Viky,

"Het moduul M heet eindig voortgebracht als er een eindige deelverz S van M bestaat met RS=M."
Als nu die eindige deelverzameling S uit slechts één element bestaat, dan noemen we M cyclisch.

Je wil laten zien dat ⁿ een cyclisch
Mat_n()-moduul is. Dat betekent dus dat je in bovenstaande definitie M moet vervangen door ⁿ en dat je R moet vervangen door Mat_n().

En je zoekt dus nu een S die een deelverzameling is van M=ⁿ, die uit één element s bestaat, en waarvoor RS=M, of in dit voorbeeld dus: Mat_n() S = ⁿ.

Dat is niet zo moeilijk: kies bijvoorbeeld s=(1,0,0,...,0). Als je nu een n*n-matrix met s vermenigvuldigt, is het resultaat de eerste kolom van die matrix.
Conclusie: je kan eender welk n-tal bekomen als product van een n*n-matrix met dat gekozen n-tal s=(1,0,..,0). Dus is ⁿ een cyclisch Mat_n()-moduul.

Groeten,
Christophe.

Christophe
4-12-2004