WisFaq!

Bewijs voor F1+F3+F5+...+F(2n-1)=F(2n)

ik moet een de bovenstaande eigenschap van de rij van fibonacci bewijzen, maar ik kom er niet uit. Ik ben begonnen met een bewijs door volledige inductie maar ik zit vast bij een van de laatste stappen.
ik heb het bewezen voor n=1, gesteld dat eig geld voor n=k, en de opvolger proberen te bewijzen.Ik eindig bij: F1+F3+F5+...+F(2k)=F(2k+1)
kunnen jullie mij verder helpen? of maakte ik ergens een fout?

elise
20-11-2004

Antwoord

Voor n=1 is de uitspraak: F(1)=F(2), en dat klopt, als beginvoorwaarden van de rij van Fibonacci

Laten we er nu van uit gaan dat voor n=k de uitspraak ook klopt, dat met andere woorden F(1)+F(3)+...+F(2k-1)=F(2k) (piep)

Kunnen we daar dan uit afleiden dat
F(1)+F(3)+...+F(2k-1)+F(2k+1)=F(2k+2)? (*)

Ja hoor, de som van alle termen behalve de eerste is gelijk aan F(2k) volgens (piep) en uit het Fibonacci-voorschrift volgt dan de gelijkheid.

Zo kan de inductie z'n werk doen en achtereenvolgens de gevallen n=2,3,4,... aantonen.

(*) Merk op dat je daar al in de fout bent gegaan. De uitspraak die bij n=k+1 hoort, gaat over de termen F(2(k+1)-1)=F(2k+1) en F(2(k+1))=F(2k+2), niet over F(2k) en F(2k+1)

cl
20-11-2004