WisFaq!

Beperkingen formule van Cardano

Wat is precies de beperking van de formule van Cardano: wanneer kan ik de formule van Cardano niet gebruken bij een 3e graads vergelijking?

Jan Alledag
6-5-2002

Antwoord

Als je informatie leest op Het oplossen van een derdegraadsvergelijking zou je denken dat vanwege de wortel bij W in ieder geval moet gelden dat q²+⁴/₂₇p³ groter of gelijk aan nul zou moeten zijn.

Nemen we x³-6x-4=0 dan is a=1, b=0, c=-6 en d=-4.
Invullen levert:
p=-6
q=-4
Nu is W=(-16)
Dat lijkt een probleem, want wat is de wortel van -16? Als je reële getallen gebruikt loop je vast. Maar waarom zouden we niet zeggen dat W=4i? (zie complexe getallen).

Als je W=4i invult en verder 'vrolijk' doorrekent kom je uit op x=-2. Dat is wel opmerkelijk, omdat je kennelijk via een berekening met complexe getallen toch op een reële oplossing uitkomt. Je kunt je misschien wel voorstellen dat dit in de 16^e eeuw wel een beetje 'vreemd' was.

Meer weten?
Zie De wortel uit -1[PS]
(dit is een postscriptbestand, lezen kan met GSview)

WvR
7-5-2002