WisFaq!

Differentiaal vergelijkingen

ik moet volgende diff. vgl. oplossen(d.m.v. scheiding van veranderlijken en variatie der constante):
y'(t)+2y(t)=3t+1

dus eerst homogene opl: hier kom ik yH(t)=C*e^-2t voor uit
dan particuliere opl: variatie der constante geeft,
yp(t)=C(t)*e^-2t
dyp(t)/dt= dC(t)/dt*e^-2t+C(t)*de^-2t/dt
= dC(t)/d(t)*e^-2t-2C*e^-2t
invullen in de niet homogene vgl. geeft:
dC(t)/dt*e^-2t-2C*e^-2t+2C(t)*e^-2t=3t+1 (termen van C vallen weg):
C(t)=ò3t+1/e^-2t dt
met deze stap heb ik weeral (zucht) problemen. Ik ben helemaal niet goed in het oplossen van integralen met e-machten (ik denk dat dit is omdat ik het nut van die e-machten niet helemaal begrijp)
dit is wat ik doe: e^-2t=1/e^2t (mag dit?)
de integraal wordt dan: ò(3t+1)*e^2t dt (partiële int.)
(3t+1)*1/2e^2t+ò1/2e^2t dt
(3/2t+5/4)*e^2t dit kom ik dus uit als partiële opl.
de gegeven (totale)uitkomst is echter:
y(t)=C*e^-2t+1/4(6t-1)
waar zit ik nu fout? ik moet dit hoofdstuk bijna volledig als zelfstudie leren, dus alle hulp is welkom
alvast dank bij voorbaat
dennis

dennis
12-11-2004

Antwoord

dennis,
Je hebt een rekenfoutje gemaakt bij delaatste part.int.
ò(3t+1)e^2tdt=(3t+1)*¹/₂*e^2t -3/2òe^2tdt.
Maar waarom niet voor het vinden van een part. opl.
proberen y(t)=at+b, danis y'(t)=a.
invulle geeft: a+2(at+b)=3t+1.
2at+a+2b=3t+1
2a=3,a=3/2 en a+2b=1, dus b=-1/4.
Dit geeft dirct de part. opl.y(t)=3/2 t-¹/₄

kn
12-11-2004