WisFaq!

Bewijs met complexe functies

Het lukt me maar niet om het volgende probleem op te lossen:

f is een afleidbare complexe functie in het domein D.
Verder geldt dat A·Re(f)+ B·Im(f)+ C º0

Bewijs dat f een constante functie is.

Alvast bedankt

Serge
11-11-2004

Antwoord

Stel dat f x+iy afbeeldt op u(x,y)+iv(x,y) en leid de gegeven relatie af naar x en y in D

Au_x + Bv_x = 0
Au_y + Bv_y = 0

De Cauchy-Riemann-vergelijkingen zeggen dat

u_x = v_y
u_y = -v_x

wat leidt tot

Av_y + Bv_x = 0
-Av_x + Bv_y = 0

Leid nu zelf hieruit af dat v_x=v_y=0, behalve wanneer A en B samen 0 zijn (maar in dat geval levert de gegeven relatie ook geen informatie)

Dan zijn ook u_x en u_y identisch nul in D en is f er constant.

cl
11-11-2004