WisFaq!

Priemideaaleigenschap

Hallo wisfaq,

Laat I en J twee idealen zijn in een commutatieve ring R.Ik wil graag de volgende priemideaaleigenschap bewijzen voor priemidealen P,

Als I*J bevat is in P dan is I bevat in P of J is bevat in P.

Vriendelijke groeten,
Viky

viky
7-11-2004

Antwoord

Eén van de definities van priemideaal is de volgende:
P is priemideaal in R als en slechts dan als voor alle r,sÎR uit r*sÎP volgt rÎP of sÎP

De eigenschap over priemidealen is veel sterker dan hoe jij ze formuleert nl:
Een ideaal P in een ring R is een priemideaal als en slechts dan als voor alle idealen I,J in R, I*J Ì R impliceert dat IÌP of jÌP.

Bewijs

(I)

van links naar rechts

, bewijs uit het ongerijmde
Stel IËP en JËP
Dan bestaat er een iÎI zodat iÏP en er bestaat een j
ÎJ zodat jÏP = i*j Ï P want P is priemideaal.
Maar i*jÎI*JÌP
We hebben dus een contradictie, het veronderstelde is dus vals.

(II)

van rechts naar links

We moeten bewijzen dat voor een willekeurige a,bÎR, met a*bÎP geldt dat aÎP of bÎP
En we vertrekken van het gegeven dat voor alle idealen I,J,P in R, I*J Ì P impliceert dat IÌP of jÌP.

Neem, nu a,bÎR, met a*bÎP
Neem I=(a) en J=(b) (dus I ideaal voortgebracht door a en J ideaal voortgebracht door b)
I*J=(ab). Aangezien a*bÎP en P is ideaal = (ab) Ì P
dan hebben we uit het gegeven van de eigenschap dat ofwel IÌP ofwel JÌP Û (a)ÌP of (b) Ìp Û aÎP of bÎP
Bijgevolg is P priemideaal.

Mvg,

Els
8-11-2004