WisFaq!

Parametervoorstellingen

Hallo,
ik moet de volgende vraag oplossen:
gegeven is de familie van parametervoorstellingen:
x= sin(t+a)
y= cos(0.5t)

Bij b moest ik de waarden vinden waar de kromme zichzelf snijdt, hier heb ik de x en y waardes op nul gesteld en zo opgelost. ( a was hier 1)Nu heb ik nog een vraag erbij: moet je bij het vinden van een snijpunt bij deze som rekening houden met sin(t+ een getal) of kun je dat ook gewoon oplossen als sin(t)?

Nu moet ik bepaalde waarden van a vinden zodat ik een kromme krijg die twee keerpunten bevat.Hoe weet je dat je precies twéé keerpunten krijgt en niet meer?

Alvast bedankt!

Eline van der Veer
31-10-2004

Antwoord

Misschien is het verstandig eerst eens even de grafiek te plotten. Daartoe moet je de periode van de kromme bepalen om het venster juist in te kunnen stellen.
periode x: 2p/1=2p, periode y: 2p/0.5=4p.
De periode van de kromme is dus 4p.
Hiermee gewapend plotten we de grafiek:

In het algemeen is de vraag waar de kromme zichzelf snijdt lastig op te lossen, maar uit de grafiek krijgen we het vermoeden dat dit punt op de x-as ligt.
We gaan oplossen y=0 (x=0 heeft dus geen enkele zin, zoals je misschien al hebt gemerkt)
cos(0.5t)=0 = 0.5t=¹/₂p, 1¹/₂p,...
Dus t=p, 3p. (Meer hoeft niet gezien de periode van K).
We berekenen de bijbehorende x:
sin(p+1)=-sin(1)-0.841
sin(3p+1)=-sin(1)-0.841.
K snijdt zichzelf dus in (-0.841,0).

We gaan nu de waarden van a berekenen waarvoor de kromme 2 keerpunten heeft.
In een keerpunt geldt dat zowel x, als y een uiterste waarde bereikt.
Laten we met y beginnen:
cos(¹/₂t) heeft als uiterste waarden 1 en -1. Deze uiterste waarden worden bereikt als ¹/₂t=0, p, (2p), dus voor t=0, 2p, (4p doet eigenlijk niet meer mee want dan begint de kromme opnieuw, de periode is immers 4p)
Snap je nu waarom je niet meer dan 2 keerpunten kunt krijgen bij deze kromme?

We willen nu dat x ook een uiterste waarde bereikt voot t=0, of t=2p.
sin(t+a) heeft de uiterste waarden 1 en -1 als t+a=¹/₂p, 1¹/₂p, 2¹/₂p, ..... enzovoort.
Kiezen we voor t 0 of 2p, dan moet a kennelijk zorgen dat je op die ¹/₂p, 1¹/₂p, 2¹/₂p, ..... enzovoort uitkomt.
Dus a=¹/₂p, 1¹/₂p, 2¹/₂p, ..... enzovoort. Dus a is een oneven aantal keren ¹/₂p.

hk
1-11-2004