Ik kreeg gisteren zelf het idee dat je eigenlijk zou moeten kunnen bewijzen dat als je twee punten van een vierkant weet de andere 2 ook vast liggen. En als die twee gegeven punten geheeltallig zijn, die andere twee dat ook zijn. Als ik dit voor elkaar zou kunnen krijgen dan kan je het voor de hele kubus bewijzen door alle zijvlakken af te gaan.
Ik heb het geprobeerd uit te werken, maar liep hopeloos vast. Mijn ruimtelijke voorstellingsvermogen is niet zo best.jantine
28-10-2004
dag Jantine,
Het probleem is, dat dat niet algemeen waar is, zoals je waarschijnlijk zelf in je tegenvoorbeeld voor categorie 2 al gevonden zult hebben.
Maar ik heb inmiddels iets leuks gevonden!
Als de lengte van de ribbe van de kubus een geheel getal is, en van drie hoekpunten (niet in een zijvlak) zijn de coördinaten integers, dan kun je met behulp van het uitproduct bewijzen dat de hoekpunten dan allemaal rationale coördinaten hebben!
Bedenk hierbij, dat de lengte van het uitwendig product van vectoren die een parallellogram opspannen, gelijk is aan de oppervlakte van dat parallellogram.
En andersom: als de lengte van de ribbe niet rationaal is, en van drie hoekpunten (niet in een zijvlak) zijn de coördinaten integers, dan weet je ook zeker dat niet alle andere hoekpunten rationale coördinaten hebben.
Nu is het nog de kunst om hoekpunten te vinden van een mogelijke kubus in de ruimte, met drie 'integere' hoekpunten, waarbij de ribbe niet rationaal is.
Ik heb door wat proberen de volgende punten gevonden:
kubus OABC.DEFG
O(0,0,0)
A(1,2,1)
G(2,-2,2)
Deze punten voldoen aan de voorwaarden voor een kubus (loodrechte stand OA en OG, en de zijvlaksdiagonaal OG heeft de juiste lengte, namelijk Ö2·|OA|)
Nu kun je van de overige hoekpunten de coördinaten berekenen, en op F na zijn deze allemaal niet rationaal.
groet,
Anneke
28-10-2004
#29176 - Bewijzen - Student universiteit