WisFaq!

Re: Re: Karakteristiek van een ring

Hoi kphart,

Ik heb nog enkele vragen.

1.Waarom geldt er voor alle andere k natuurlijk f(k)=kf(1)?

2.Dat er één hom is f:Z-R moet bewezen voor een ring R, dus niet voor een domein.Dus wat moet je doen na de stap
f(1)(1-f(1))=0? En waarom is het er precies één?

Groeten,

Viky

viky
22-10-2004

Antwoord

1. omdat f een groepshomomorfisme is geldt f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1), etc
2. Na de stap f(1)(1-f(1))=0 kun je in een domein concluderen dat hetzij f(1)=0 hetzij f(1)=1. Het eerste geval levert het (flauwe) homomorfisme dat constant 0 is; het tweede geval levert het homomorfisme dat ik claimde. Ik neem aan dat je moest laten zien dat er precies één niet-flauw homomorfisme is.

Als je ring geen domein is kunnen er zaken mis gaan: er zijn bijvoorbeeld ringen (met en zonder 1) waarin elke x voldoet aan x²=x; voor zo'n ring kun je een heleboel homomorfismen maken, voor elke x één: definieer f(k)=0 als k even is en f(k)=x als k oneven is.
(Een voorbeeld van zo'n ring: alle deelverzamelingen van een verzameling met als optelling ``symmetrisch verschil nemen'' en als vermenigvuldiging ``doorsnede nemen''.

kphart
27-10-2004