WisFaq!

Karakteristiek van een ring

Hallo wisfaq,

Voor iedere ring R is er precies een homomorfisme f:Z-R (Z de gehele getallen).De niet-negatieve voortbrenger van de kern van f heet de karakteristiek char(R) van R.Ik wil graag m.b.v. van deze definitie van karakteristiek, laten zien dat de char van een domein 0 of een priemgetal is.
Maar ik begrijp niet hoe ik dat moet doen. Ook begrijp ik niet wat dit hom is en hoe ik dat moet bewijzen.

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
12-10-2004

Antwoord

Het homomorfisme is gedefinieerd door nn1_R.
Geval 1: de kern is {0}; dan is de karakteristiek duidelijk 0.
Geval 2: de kern is niet {0}; de voortbrenger van de kern noemen we m. Dan geldt f(m)=0 en f(i) is ongelijk nul
als 0im. Omdat R een domein is geldt: als ab=0 dan a=0 of b=0. Hieruit volgt: als 1i,jm en ij=m dan f(i)f(j)=f(m)=0 en dus f(i)=0 (en i=m) of f(j)=0 (en j=m). Met andere woorden: m is een priemgetal.

kphart
15-10-2004