WisFaq!

Afgeleide van functies f(x)=x^x

ik kan 2 oefeneningen niet oplossen

1) afgeleide van x^lnx
2) afgeleide van e^x^x

kan iemand helpen ?

wim
10-10-2004

Antwoord

Concreet: schrijf alle f^g als exp(g ln(f))

x^ln(x) = (e^(ln(x)))^ln(x) = e^[ln²(x)]
D[x^ln(x)]
= D[e^[ln²(x)]]
= e^[ln²(x)].D[ln²(x)] (kettingregel)
= x^ln(x).2ln(x).1/x (e^ln²(x) terugschrijven als x^ln(x))

De tweede oefening is gelijkaardig en moet je zelf maar eens proberen, vooral omdat, zoals je ze hier neerschrijft, de opgave dubbelzinnig is.

Algemeen is de afgeleide van f(x)^g(x)

g(x).(f(x)^[g(x)-1]).f'(x) + (f(x)^g(x)).ln(f(x)).g'(x)

Dat kan je BEWIJZEN door f(x)^g(x) te schrijven als exp(g(x)ln(f(x)) en ONTHOUDEN door voor de eerste term g(x) constant te denken (en dus de regel voor een macht te gebruiken) en voor de tweede term f(x) constant te denken (en dus de regel voor een exponentiele functie te gebruiken).

cl
10-10-2004