WisFaq!

Verloop van logaritmische functies

Ik moet het volledig verloop maken van de functie:
f(x)= ln (1+x)/(1-x)
Ik heb al:
domein = ]-1.1[
snijpunten x as= (0.0)
snijpunten y as= (0.0)
symmetrie: oneven, gespiegeld t.o.v.de oorsprong
Klopt dit al?
Hoe vind ik de asyptoten?
Ik heb eerste afgeleide:
f'(x)= (2-2x)/((1+x)*(1-x)²)
Is deze afgeleide juist?
Ik heb als tweede afgeleide:
f''(x)= (4x³-8x²+4x)/(x³-x²-x+1)
Klopt deze tweede afgeleide?

Kim Van Humbeeck
6-10-2004

Antwoord

dag Kim

Wat je gevonden hebt, klopt
Om die symmetrie te ontdekken, is nog wel wat rekenwerk nodig, maar blijkbaar is dat gelukt.
Horizontale asymptoten zijn niet aan de orde, vanwege het domein.
De kandidaten voor verticale asymptoten zijn te vinden door te kijken wanneer de noemer van de breuk 0 wordt of wanneer de waarde achter de logaritme 0 wordt.
Dat zijn dus de waarden x=1 en x=-1
Om te onderzoeken of dit echt asymptoten zijn, moet je de limieten berekenen.
Voor deze limieten kun je handig gebruik maken van de regel:
ln((1+x)/(1-x)) = ln(1+x) - ln(1-x)
lim_x¯-1f(x) = -¥, dus dat is een asymptoot.
Uit symmetrieoverwegingen of door nog een limiet te berekenen vind je dus ook de andere asymptoot.
Voor het berekenen van de afgeleide zou ik liever de eenvoudiger vorm van de functie gebruikt hebben, maar op zich is het wel juist. Je kunt nog wel verder vereenvoudigen.
De tweede afgeleide is helaas niet goed.
Maar volgens mij kun je die nu zelf wel.
succes.

Anneke
6-10-2004