WisFaq!

Re: Re: Karakteristiek van een ring

Hallo Christophe,

Sorry de laatste vraag moet zijn:
Stel dat vermenigvuldiging een groepsoperatie is, geldt dan R=0?
Ik wil graag nog iets vragen i.v.m. de karakterisrtiek.Stel je hebt die ring R mer R'={1} en kar. n=2.Dan is f:R-R gegeven door f(r)=r^2 is een homomorfisme
(het is mij gelukt om dit aan te tonen).Graag wil ik bewijzen dat f injectief en/of surjectief is.Ik weet datik moet gebruiken:
(injectief)Stel f(r)=f(s) in R, laat zien dat r=s.Volgt nu uit r^2=s^2 onmiddelijk dat r=s?
(surejectief) Stel r' uit R is gegeven (Met deze R dus het beeldgebied).Ik moet laten zien dat er een r in R bestaat (het af te beelden gebied) zodat f(r)=r'.Maar hoe doe ik dat?

Groeten en dank,

Viky

viky
21-9-2004

Antwoord

Hi

Stel dat vermenigvuldiging een groepsoperatie is, geldt dan R=0?

Vreemde vraag, het antwoord is nee, denk bijvoorbeeld aan
Strikt genomen is het daarbij wel \{0} die een groep is voor de vermenigvuldiging. Als je echt eist dat heel R (inclusief de nul) een groep is voor de vermenigvuldiging, dan kan dat inderdaad enkel in de nulgroep.

En dan die nieuwe vraag: intuïtief zou ik zeggen: wel injectief, niet surjectief. Wel injectief omdat je bij f(r)=r² normaal twee wortels hebt, x en -x, maar hier zijn die gelijk. Surjectief niet wegens volgend tegenvoorbeeld: bekijk (/2)[X ], dus de ring van polynomen in 1 variabele met coëffs 0 en 1. Inderdaad karakteristiek 2, en inderdaad slechts één eenheid, maar niet surjectief want X³ is nergens het beeld van.

Dat injectieve moet wel nog bewezen worden...
Wat denk je van:
r²=s² dus r²-s²=0 dus (r-s)(r+s)=0 dus r=s of r=-s dus r=s (want min is plus).
Hm nee, want die vette 'dus' kan je alleen gebruiken in een domein, en dat is niet gegeven...

Iets zegt mij dat je geen nuldelers kan hebben in karakteristiek 2, maar ik zie niet meteen hoe je dat kan bewijzen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
21-9-2004