-1 is een eenheid omdat (-1)(-1)=1. Kijk, je weet dat 1 een eenheid is. Maar R is een ring, dus de optelling is een groep, dus voor elk element x van R bestaat er een -x. Dus -1 moet wel degelijk bestaan, met de eigenschap dat (-1)+1=0 en 1+(-1)=0.
Volg nu even volgende reeks van gelijkheden. En denk telkens na of je de stap wel mag zetten, je bent immers aan het werken in een algemene ring dus moet je toch wat oppassen dat je niet al te vlot de gekende rekenregels in
of 
toepast.0=02=((-1)+1)2=(-1)2+(-1)+(-1)+1=(-1)2+(-1)+0=(-1)2+(-1)
Waaruit volgt dat zowel (-1)2+(-1) als 1+(-1) nul zijn, dus dat (-1)2=1. (want elk element heeft juist één invers onder de optelling, dat is een eigenschap)
'Begrijp ik het...?' Ja: -1 is een eenheid, maar 1 is de enige eenheid. Dus -1=1.
De laatste vraag begrijp ik niet: R is niet de nulring, te bewijzen R=0? De vermenigvuldiging is een groepsoperatie zeg je, dat betekent dat elk element (behalve het eenheidselement nul voor de optelling) een multiplicatief invers heeft (groepseigenschap). Dus nul is de enige niet-eenheid. Misschien bedoelde je dat, dus dat R\R'={0}. (en dan is dat bij deze meteen bewezen
) waarbij R'=de eenhedengroep.Groeten,
Christophe.
Christophe
21-9-2004