WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op donderdag 28 maart 2024

Afgeleide van exponentiële functie

Help ik zit vast met het bewijs van de afgeleide van een exponentiële functie!

D f(x)=a tot de xste
D f(x)= lim h®0 (f(x+h)-f(x))/h
D f(x)= lim h®0 (a tot de (x+h) - a tot de (x))/h

... ???


D f(x) = ln a ´a tot de x


P.S. ln a = log a / log e

senne
16-9-2004

Antwoord

Stel f(x) = ax.

Dan is
f'(x) = limh®0(ax+h-ax)/h
= limh®0ax·(ah-1)/h
= ax·limh®0(ah-1)/h

Dit laatste stuk (limh®0(ah-1)/h) is een constante (dus onafhankelijk van x). We moeten nu alleen nog laten zien dat het gelijk is aan ln a

Er is er een waarde voor a te kiezen zodat limh®0(ah-1)/h = 1. Deze waarde van a noemen we e (het getal van Euler). Probeer maar eens voor kleine waarden van h.

We weten dus nu dat voor f(x) = ex geldt dat f'(x) = ex.

Dit gaan we gebruiken voor willekeurige grondtallen.

Stel f(x)=ax.
Je kunt a schrijven als eelog a ofwel eln a.
f(x) is dus te schrijven als (eln a)x ofwel ex·ln a.
Gebruik nu de kettingregel om te laten zien dat
f'(x) = ln a·ax

wh
5-10-2004


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#27453 - Bewijzen - 3de graad ASO