WisFaq!

Re: Eenheden in polynoomringen

Hallo Christophe,

Ik begrijp toch niet helemaal hoe ik op een juiste manier moet bewijzen dat 1+2r een eenheid is.Moet dat zo:
Zij r een willekeurig element in R[X].Om aan te tonen dat u=1+2r een eenheid is moet ik laten zien dat er een y bestaat zodat uy=yu=1. Inderdaad geldt dat y=1-2r want
(1+2r)(1-2r)=1-4r^2 en modulo 4 geeft dat 1. Maar hoe kom je erachter dat y gelijk moet zijn aan 1-2r?Gewoon door te puzzelen?

Ik had een vraag verkeerd geformuleerd zijn,deze moet zijn:
Is iedere eenheid van de vorm u=(+/-)1+2r?

Het tweede geval begrijp ik maar het eerste geval niet.Waarom moet je kijken naar de hoogstegraadcoëff.?
Bedoel je met ..deze polynoom is een eenheid..de hele polynoom of de term met hoogstegraadcoëff. die oneven is?
Ik begrijp niet waarom die inverse ook oneven coëff. moet hebben.

Is nu de conclusie na het bestuderen van geval 1 en 2 dat iedere eenheid dus van de vorm 1+2r is?Want je schrijft dat elk polynoom waarvan...t/m...als 2r+1.

Groeten,

Viky

viky
16-9-2004

Antwoord

1. Inderdaad, gewoon door te puzzelen. Maar echt ver moest het toch niet gezocht worden he. En het is ook logisch: als je 2r+1 met y wil vermenigvuldigen zodat het 1 uitkomt, moet y zeker een term 1 bevatten (zodat je hebt 1*1=1). Maar dan heb je ook 2r*1=2r. Die wil je laten wegvallen, dus heb je nog een ±2r nodig... En zo verder breiend kom je aan die y. Ik zie nu wel juist dat ook geldt:
(2r+1)(2r+1)=4r²+4r+1=1

En dat is zelfs nog leuker: elke 2r+1 is z'n eigen invers... Al is het wel net hetzelfde als het vorige want 2=-2. Dus niks nieuws onder de zon.

2. Die vraag had ik inderdaad zo begrepen, nl eerst: is elke 2r+1 een eenheid, daarna: is elke eenheid van die vorm 2r+1. Dus het vorige antwoord lost die opgave op.

3. Ik zal heel de redenering nog eens overdoen: stel dat je een eenheid u hebt die niet van de vorm 2r+1 is. Dat houdt in dat ofwel de constante term even is (geval 2 van daarnet, dat blijft behouden), ofwel dat je minstens één oneven coëff hebt (niet de constante). Noem de term met oneven coëff van hoogste graad aX^m, met dus a oneven en m0. Kies nu een y zodat uy=1.

Als y geen oneven coëffs heeft (en dus helemaal geen, zelfs de constante niet), dan is de constante term 0 of 2 en kan de constante van het product dus nooit 1 worden. Als y wel een oneven coëff heeft (zelfs al is het maar de constante term), kies dan de hoogste graad die bij zo een oneven coëff hoort, noem die term bX^k. k zou dus nul kunnen zijn, b is oneven.

Bekijk tot slot de term van graad k+m. Dat is een som van meerdere termen, waaronder abX^k+m. a en b zijn allebei oneven. Andere termen zijn bijvoorbeeld [de term van graad k+1 uit y (met even coëff!)] maal [de term van graad m-1 uit u]. Of [de term van graad k-1 uit y] maal [de term van graad m+1 uit u (met even coëff!)]. Je ziet dat al die andere termen telkens een even coëff opleveren, dus je krijgt dat oneven gedoe van ab niet meer weg, en je komt dus nooit op 1 uit.

En de slotsom is dus inderdaad dat elke polynoom van de vorm 2r+1 een eenheid is, en dat elke eenheid juist die vorm moet hebben. Want elke aanname dat u een eenheid is maar niet van de vorm 2r+1 is, komt op een strijdigheid uit.

Groeten,
Christophe.

Christophe
16-9-2004