WisFaq!

Druk uit mbv regel van de Moivre

Ik moet cos(4a) uitdrukken in cos(a) en sin(a) en ik heb geen flauw idee hoe ik dit moet aanpakken.
Kunt u mij helpen?

Wouter
13-9-2004

Antwoord

Mogelijkheid 1:
Twee maal toepassen van de formule voor cos(2a)=2cos²(x)-1.

Mogelijkheid 2:
De formule van De Moivre (voor modulus 1):

(cos(x)+isin(x))⁴ = cos(4x) + isin(4x)

Werk het linkerlid uit (door 4 keer te vermenigvuldigen of het binomium van newton):

cos⁴x + 4icos³x*sin x + 6i²cos²x*sin²x + 4i³cos x*sin³x +i⁴sin⁴x

Er geld nu volgende gelijkheid:
cos⁴x + 4icos³x*sin x + 6i²cos²x*sin²x + 4i³cos x*sin³x +i⁴sin⁴x = cos(4x) + isin(4x)

cos⁴x - 6cos²x*sin²x + sin⁴x + i(4cos³xsin x - 4cosxsin³x) = cos(4x) + isin(4x)

2 complexe getallen zijn gelijk als het reel deel en imaginair deel gelijk zijn:

cos(4x) = cos⁴x - 6cos²x*sin²x + sin⁴x

en meteen ook de sin...

sin(4x) = 4cos³xsin x - 4cosxsin³x

TvR
13-9-2004