WisFaq!

Mathematische slinger

Dag Wisfaq,
De welbekende formule P=2pÖ(L/g) voor de periode P van een mathematische slinger met lengte L bij een valversnelling g is alleen een goede benadering als de amplitude a klein is. Een exacte uitdrukking die ook geldt voor grote a, is 2Ö(2)Ö(L/g)ò(cos(q)-cos(a)^(-1/2)dq; integratie van q=0 tot q=a; zie de pagina "Pendulum" van scienceworld.wolfram.com
Vraag 1: hoe is het mogelijk dat (cos(q)-cos(a)^(-1/2) integreerbaar is van 0 tot a? De integrand gaat toch naar ¥ als q nadert tot a?

We willen nu de waarde van a bepalen waarbij de periode P 7 maal zo groot is als bij zeer kleine a. De waarde van de integraal moet dan zijn 7p/Ö2. Ik kies een waarde van a, bij voorbeeld 179,9° en probeer de integraal uit te rekenen. Het grafisch rekentuig TI-83 kan de integraal wel numeriek berekenen voor kleinere waarden van a, maar loopt vast als ik a dicht tegen de 180° kies.
Vraag 2: hoe kan ik de waarde van de integraal bepalen voor a bijna gelijk aan 180°?
Dank voor uw aandacht,
Jaap

Jaap
31-8-2004

Antwoord

Vraag 1)
Bekijk f(x)=1/Ö(x).
Hier geldt f(x)®¥ als x¯0.
Een primitieve F(x)=2Ö(x).
Neem je nu b.v. _aò¹f(x)dx dan levert dit dus 2-2Ö(a).
Dus ₀ò¹f(x)dx=
lim_a¯0aò¹f(x)dx=
lim_a¯02-2Öa
=2.

Vraag 2)
Het probleem bij de integraalbenadering is dat voor hoeken dicht bij 180° de noemer van f(x) bijna nul wordt. Voor de rekenmachine dus op een gegeven moment niet onderscheidbaar van 0.
Het algoritme waarmee de TI-83 integralen benadert gaat net zo lang door tot een zekere nauwkeurigheid is bereikt.
Bij het Calc menu is deze nauwkeurigheid vooraf ingesteld.
In het Math menu zit bij optie 9 de opdracht fnInt.
De syntax van deze opdracht is
fnInt(functie,variabele,linkergrens,rechtergrens,tolerantie)
Door nu een vrij grote tolerantie te kiezen (0.1 of zelfs 1) kun je voorkomen dat de machine te veel deelintervalletjes neemt en zo te dicht bij 180 graden komt.
Ik heb het uitgeprobeerd en dit helpt een beetje.
De prijs is dat je wel een stuk nauwkeurigheid verliest.

Denk er bij dit alles wel aan dat de juiste waarde van de integraal alleen wordt berekend als je in radialen werkt.
Zet de rekenmachine dus op radialen.
Als je een hoek van 179 graden wilt hebben moet je a dus gelijk kiezen aan 179/180*{PI}

hk
1-9-2004