WisFaq!

Eindige integraal

Beste,

Hoe moet ik beginnen aan de volgende oefn:
'Zoek voor welke t Î de volgende integraal (waarbij aÎ⁺₀ en qÎ) eindig is:
òa/2 ´ e^{tx-a´abs(x-q)} dx

(integraal van -¥ naar +¥)

Ik vermoed dat de oplossing moet gezocht worden bij de absolute waarde, maar ik zou niet weten hoe te beginnen.

Alvast bedankt

Pieter
28-8-2004

Antwoord

In uw vraag gaat het over een oneigenlijke integraal. We vragen ons af voor welke t de integraal convergeert.

We rekenen de integraal gewoon uit. Stel de te integreren functie is f(x). Ik stel voor de integraal te splitsen

ò f(x) dx (van - ¥ naar q)
+ ò f(x) dx (van q naar + ¥)

Dan zijn we verlost van de absolute waarde. Immers als xq, dan valt de absolute waarde weg. Als xq dan corrigeren we de absolute waarde met een min. Het geheel wordt dan

ò^q_-¥ ^a/₂ * e^t*x+a*(x-q) dx+ ò^+¥_q ^a/₂ * e^t*x-a*(x-q) dx (1)

Nu voeren we de integratie naar x uit en vullen we de grenzen in

^a/₂* (^eq*t /_a+t - ^eq*t /_t-a - lim(x -¥ , ^et*x+a*(x-q)/_a+t ) + lim(x ¥ , ^et*x-a*(x-q)/_t-a )

We merken op dat bovenstaande uitdrukking niet bestaat als t+a=0 of als t-a=0. Deze gevallen moet men apart onderzoeken door uitdrukking (1) te vereenvoudigen en vervolgens ook uit te rekenen. Onderzoek deze twee gevallen zelfs eens (uitkomst: beide speciale gevallen divergent). In onderstaande berekeningen gaan we er dus van uit dat t+a¹0 en dat t-a¹0.

De eerste twee termen vormen geen probleem voor de convergentie, want ze zijn eindig voor elke t, dus laten we deze twee termen vanaf nu buiten beschouwing. We moeten nu de voorwaarden voor t opsplitsen.

1) Stel t+a 0, dan gaat de eerste limiet naar 0. Immers e^-¥ @ 0.

a) Stel t-a 0, dan gaat de tweede limiet ook naar 0.
=0 + 0 = 0 is convergent
b) Stel t-a 0, dan gaat de tweede limiet naar + ¥ =0 + ¥= ¥ is divergent

2) Stel t+a 0, dan gaat de eerste limiet naar -¥.

a) t-a 0, dan gaat de tweede limiet naar 0
=-¥ + 0 = -¥ is divergent
b) t-a 0, dit is onmogelijk, want als t+a 0, wil dat zeggen dat t negatief is, dan kan t-a nooit groter zijn dan nul, omdat a altijd positief is (zie gegevens)

Er is dus alleen convergentie (eindigheid) als t+a0 en t-a0. De voorwaarde voor t is dus:

t Î ]-a,a[

(de reden waarom de haakjes open zijn, steunt op de twee eerder vermelde aparte gevallen die divergent zijn)

Groetjes
Igor

Igor
14-9-2004