WisFaq!

Recursievergelijking

Deze vraag kwam in het tentamen 2003 aan het JBI voor:
13.000 euro lenen?
Afbetalen in 13 maandelijkse termijnen van 1000 euro, aan het eind van iedere maand.
Rente 1,25% per maand, te betalen aan het eind van de looptijd.
Ik ga de lening aan en betaal 13 maanden land iedere maand keurig 1000 euro af. Na 13 maanden krijg ik een telofonische aanmaning om het resterende bedrag direct te betalen.
a. Stel de recursievergelijkingen op die het restbedrag van de schuld geven na iedere maandelijkse afbetaling (inclusief verschuldigde rente)
b. Bereken hoeveel ik na de 13e aflossing moet betalen.

Ten eerste begrijp ik niet waarom dit met twee vergelijkingen moet en het antwoord wat we kregen snap ik helemaal niet.
Dit namelijk: U(t+1)=1,00125·U(t)+1000 met U(t)=1,00125^t·67000-80000
Waarom 1,00125 en niet 1,0125? en Waarom die 67000-80000?

Judith Schomaker
25-8-2004

Antwoord

Die 1,00125 moet inderdaad 1,0125 zijn.
De formule U(t)=1,00125^t·67000-80000 is geen recursieformule maar een directe formule. Deze formule is zo opgesteld dat de antwoorden voor kleine waarden van t negatieve getallen oplevert. Kennelijk wordt hier van de conventie uitgegaan dat een schuld als negatief getal wordt weergegeven.
Als we dat voor de recursievergelijking ook willen doen dan zou de recursievergelijking moeten zijn:
U(t+1)=1,0125*U(t)+1000 met U(0)=-13000.

Je moet bij een recursievergelijking wel altijd erbij vermelden wat de waarde voor zekere waarde van t is anders zijn de uitkomsten natuurlijk onbepaald.

Als we nu gebruik maken van het feit dat een directe formule bij een recursieformule van de vorm u(n+1)=a*u(n)+b van de vorm u(n)=a^t+c is dan kunnen we de vorlgende vergelijkingen opstellen:
t=0: u(0)=-13000 en u(0)=a^0+c=a+c, dus a+c=-13000
t=1: u(1)=-13000*1,0125+1000=-12162,50 en u(1)=a*1,0125+c,
dus 1,0125a+c=-12162,50

We hebben nu het stelsel:
a+c=-13000
1,0125a+c=-12162,50

Uit a+c=-13000 volgt c=-a-13000, invullen in de tweede vergelijking geeft:
1,0125a-a-13000=-12162,50
0,0125a=13000-12162,50=837,50
a=837,50/0,0125=67000 en c=-67000-13000=-80000.
Dus de directe formule is u(n+1)=67000×1,0125^t-80000.

hk
25-8-2004