WisFaq!

Oplossen LDV met `variatie van constanten` (contradictio in terminis)

weet iemand raad om met behulp van het truucje "variatie van constanten" deze LDV op te lossen?

y" + 4y = ¹/_sin²(x)

heeft soms iemand een truukje om die methode van "variatie van constanten" makkelijk onder de knie te krijgen?
alvast bedankt!

Flurt
24-8-2004

Antwoord

stap 1: los de homogene vergelijking y''+4y=0 op; de algemene oplossing is c₁ sin(2x)+ c₂ cos (2x)
stap 2: varieer de constanten c₁ en c₂ (maak er functies van) door te stellen dat een oplossing van de gegeven vergelijking te schrijven is als c₁(x)·sin(2x) + c₂(x)·cos(2x).
Je gaat dus op zoek naar twee onbekende functies.
Vul die hele uitdrukking in in de gegeven DV, waarbij je onderweg nog mag stellen dat c'₁(x)·sin(2x) + c'₂(x)·cos(2x) = 0.
Als het invullen netjes gebeurt krijg
je ook nog 2c'₁(x)·cos(2x) - 2c'₂(x)·sin(2x) = 1/sin²(x).
Je hebt dan twee vergelijkingen met twee onbekenden (de functies c'₁ en
c'₂); die vergelijkingen kun je oplossen (met de regel van Cramer gaat dat mooi).
Aan het slot nog je twee oplossingen primitiveren en klaar ben je.

Dit is het stramien dat je iedere keer kunt volgen; het is veel werk, maar in theorie leidt het altijd tot oplossingen.

kphart
1-9-2004