WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op dinsdag 18 januari 2022

Afstand van een punt tot een vlak in 3D

Gegeven: de coordinaten van drie punten A,B,C in een vlak:
A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z3), C(x3,y3,z3) en een vierde punt D niet tot het vlak behorend: D(x4,y4,z4).
Gevraagd: lengte loodlijn vanuit D tot vlak ABC.
Liefst algemene formule.
Praktijktoepassing: met laser wordt een vlak op 3 punten bepaald, het vierde punt mag tot het vlak gerekend worden als de afstandd het binnen een bepaalde marge valt.
Bij voorbaat dank voor een eventuele reactie.

Roland Tomei
14-4-2002

Antwoord

De afstandsformule die je vraag beantwoordt zit als volgt in elkaar:
  1. stel van het vlak een vergelijking op, op nul herleid
  2. vul in het linkerlid de coŲrdinaten van punt D in, met weglating van het rechterlid (dus geen 0 meer erachter zetten). Het doet niet ter zake of D wel of niet in het vlak ligt. Er komt gewoon 0 uit als D erin blijkt te liggen.
  3. als het resultaat van punt 2 negatief is, neem dan de absolute waarde ervan.
  4. deel dit getal door de lengte van de normaalvector van het vlak.
Een voorbeeld ter illustratie:

Laat vlak V gegeven zijn door 2x - 3y + 5z - 11 = 0
De normaalvector is dan (2,-3,5) met lengte √38

(indien niet bekend: een normaalvector is een vector loodrecht op het vlak en de kentallen ervan zijn de coŽfficiŽnten van de x, de y en de z).

Stel D = (-2,7,-1)

Nu geldt: d(D,V) = |2.-2 + -3.7 + 5.-1 - 11|/√38

Uitwerking geeft 41/√38

MBL
14-4-2002


© 2001-2022 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#2672 - Ruimtemeetkunde - Iets anders