WisFaq!

Differentiaalvergelijking van Bernouilli

vraag: zoek de particuliere oplossing die aan de gegeven randvoorwaarden voldoet:

- dy/dx + y/2x = x/y³

- y(1)= 2

Moet ik nu al de termen vermenigvuldigen met y³?
En hoe moet ik dan aan een lineaire differentiaalvergelijking geraken?

natalie
21-8-2004

Antwoord

Je kunt de DV herschrijven als dy/dx = (2x²-y⁴)/(2xy³) en daarna als (2x²-y⁴)dx + (-2xy³)dy = 0
De partiële afgeleide naar y van de factor 2x³-xy⁴ levert -4xy³ op.
Partieel differentieren naar x van de factor -2xy³ levert -2y³ op.
Daarmee is de DV nét niet exact, want dan zouden de twee partiële afgeleiden hetzelfde zijn.
Vermenigvuldigen met x levert op: (2x³-y⁴)dx + (-2x²y³)dy = 0 en deze DV is wél exact (de twee partiële afgeleiden naar y resp x geven beide -4xy³).
De techniek voor het oplossen van exacte differentiaalvergelijkingen gaf mij als oplossingsfamilie de krommen met vergelijking ¹/₂x⁴ - ¹/₂x²y⁴ = c en invullen van x = 1 en y = 2 levert de waarde van c op.

MBL
22-8-2004