WisFaq!

Differentiaalvergelijking

Hoe moet ik volgende differentiaalvergelijking oplossen?

d²y/dx² - 3dy/dx + 2y = 4x²

nieke
21-8-2004

Antwoord

Hallo,

Deze oplossing bestaat uit een homogene en een partiële.
Eerst de homogene oplossing.

y'' - 3y' + 2y = 0

Stel e^x= r
Dan is:

r² - 3r + 2 = 0 (dit is de hulpvergelijking)
D = 1
r_1,2= ^{3 ±1}/₂= 2 Ú 1
De algemene oplossing ziet eruit als:
A·e^r₁x+ B·e^r₂x
Met A en B constanten.
In dit geval wordt dit dus:
A·e^2x + B·e^x

Nu de particuliere oplossing nog.
Dit is een beetje 'beredeneerd gokken'.
Het niet-homogene deel is 4x²
We proberen daarom als oplossing:
y = Ax² + Bx + C
(Moest er 4x hebben gestaan dan moest je Ax + B proberen)
Je moet ook altijd controleren dat de particuliere oplossing die je gaat proberen verschillend is aan de homogene die je hebt gevonden. Is dit toch het geval dan vermenigvuldig je je particuliere telkens met x tot dit niet meer het geval is.

Terug naar het probleem nu:
y = Ax² + Bx + C
y'= 2Ax + B
y''= 2A

Nu vullen we gewoon in:
y'' - 3y' + 2y = 4x²
2A - 6Ax - 3B + 2Ax² + 2Bx + 2C = 4x²
A = 2
B = 6
C = 7
De particuliere oplossing is dan 2x² + 6x + 7
de volledige oplossing is de som van de particuliere en de homogene oplossing.Dit wordt dus:

A·e^2x + B·e^x + 2x² + 6x + 7

Groetjes,

Koen
21-8-2004