WisFaq!

Differentiaalvergelijking

hoe los ik volgende differentiaalvergelijking op?
(dy/dx) + y = x + 1

Natalie
21-8-2004

Antwoord

Beste Natalie,

y'(x) + y(x) = x + 1

Laten we beide leden vermenigvuldigen met een nog onbekende functie g(x), dus

y'(x)·g(x) + y(x)·g(x) = x·g(x) + g(x)
Laten we 't linkerlid herschrijven, zodat de productregel opvalt
y(x)·g(x) + g(x)·y'(x) = x·g(x) + g(x)
opdat (y(x)·g(x))' = y(x)·g'(x) + g(x)·y'(x) geldt, moet g(x) = g'(x) oftewel ^g'(x)/_g(x) = 1, [g(x)¹0, is wel een oplossing] aan beide kanten integreren levert ln|g(x)| + c = x + d waarbij c en d integratieconstanten. Dus ln|g(x)| = x + f (waarbij f = d - c). Dus g(x) = ±e^x+f.

We mogen zelf kiezen of we de positieve of negatieve waarde kiezen, en welke waarde we voor f kiezen. Laten we het gemakkelijk houden en g(x) = e^x kiezen.

(y(x)·e^x)' = xe^x + e^x

Beide leden integreren naar x levert

y(x)·e^x + g = ò(xe^x + e^x)dx
y(x)·e^x + g = xe^x - e^x + e^x + h (g,h Î ).
Om òxe^xdx te bepalen moet je gebruik maken van partieel integreren, die regel gaat als volgt òf(x)·g'(x)dx = f(x)·g(x) - òf'(x)·g(x)dx waarbij f(x) = x en dus f'(x) = 1 en g'(x) = e^x en g(x) = e^x.

y(x) = ^{xex + p}/_e^x waarbij p = h - g.

y(x) = x + ^p/_e^x

y(x) = x + pe-x

Ter controle y'(x) = 1 + p·(-1)e^-x dus y'(x) = 1 - pe^-x

y'(x) + y(x) = 1 - pe^-x + x + pe^-x = x + 1. Klopt!

Groetjes,

Davy.

Davy
21-8-2004