WisFaq!

Asymptotische vergelijkingstest

Toon aan met bijvoorbeeld de asymptotische vgl test dat

de integraale tussen 0(ondergrens) en 1( bovengrens)
van
(ln(1 + sqrt(x))) / ( (1+x^2)^(1/3) - 1 ) dat deze integrale convergent of divergent is
EN als hij convergent zou zijn ( mar 'k weet niet hoe je dat doet ... )zou je de waarde moeten bepalen ...

"k snap de werkwijze niet erg goed kan iemand me soms op weg helpen ?

Alvast erg bedankt

Ben

ben
20-8-2004

Antwoord

Aan de bovengrens is de integraal niet oneigenlijk, want de limiet van de integrand voor x naderend naar 1 is eindig, en eenvoudig te bepalen door substitutie van x=1.
Aan de ondergrens kan men zowel de teller als de noemer schatten met een Taylorveelterm (in Öx resp x²).
Voor de teller levert dit: ln(1+Öx) is ongeveer Öx als x nadert naar 0.
Voor de noemer: (1+x²)^1/3-1 is ongeveer 2x²/3 als x nadert naar 0.
Dus de integrand is aan de ondergrens ongeveer Öx/(2x²/3) = 3x^-3/2/2. Het quotiënt van deze ijkfunctie en de integrand nadert naar 1 als x nadert naar 0.
Volgens de asymptotische vergelijkingsstelling zijn de integrand en de ijkfunctie nu allebei wel of allebei niet integreerbaar op (0,1).
Aangezien de ijkfunctie exponent -3/2 heeft, en -3/2 niet groter dan -1 is, is de integraal op een interval (0,d) met d0 niet convergent.

hr
2-9-2004