WisFaq!

Vergelijking ellips opstellen als brandpunten en raaklijn bekend zijn

Hoi.
Kunnen jullie me aub helpen? Ik heb a.s. dinsdag een hertentamen en ik kom niet uit onderstaande opgave:

Gegeven : F1 (2,0) en F2 (-2,0) en x+2y=8.
Gevraagd: de vergelijking van de ellips, die de gegeven rechte raakt en die F1 en F2 als brandpunten heeft.

Tot nu toe heb ik dit:
Uit de brandpunten volgt, dat de ellips door de oorsprong gaat.
Algemene vergelijking van de ellips dan x²/a² + y²/b² = 1
Uit brandpunten volgt dat c=2, dus a²=b²+4
Raaklijn x+2y=8, ofwel y=-¹/₂x+4. Het is een raaklijn, heeft dus 1 raakpunt. Raakpunt echter onbekend. Je kunt daarvoor y=-¹/₂x+4 invullen in algemene ellipsvergelijking, maar daar kom je niet verder mee.
Raakpunt vind je vaak door vergelijking ellips = vergelijking raaklijn, maar daar kom je hier ook niet verder mee, je weet immers de complete ellipsvergelijking niet.
En met de normaal kom ik niet verder dan y=2x+constante.

Ik heb al allerlei wegen geprobeerd, maar ik kom geen steek verder.
Kan iemand me a.u.b. helpen?

Alvast heel hartelijk bedankt!

Groeten,
Boudewijn

Boudewijn
20-8-2004

Antwoord

Tot nu toe heb je dus als vergelijking van de ellips:
x²/(b²+4) + y²/b² = 1
En als je nu eens x = 8 - 2y in die vergelijking subsitueert?
Je krijgt dan een 2e-graads vergelijking in y.
Zo'n vergelijking heeft meestal twee oplossingen. Maar omdat de lijn een raaklijn is geldt D = 0.
En dat geeft dan een (4e graads) vergelijking in b.
Na wat rekenwerk (...) kom ik op
b⁴ - 8b² - 48 = 0.
En dat levert dan b² = 12 (of b² = -4).
Zodat de vergelijking van de ellips is:
x²/16 + y²/12 = 1

dk
20-8-2004