WisFaq!

Differentiaalvergelijking

Een patiënt die een bacteriële infectie met stafylokokken heeft opgelopen, wordt behandeld door toedienen van een pil met een gepast antibioticum. De evolutie van de infectie in de loop van de tijd wordt beschreven door de differentiaalvergelijking:
n'(t) = r n(t) - delta exp( -at)
waarbij n(t) het aantal bacteriële cellen voorstelt (uitgedrukt in miljoenen) op het tijdstip t (in minuten). r, delta en a zijn positieve constanten. Ook nog gegeven:
A = delta/(a + r)

de oplossing n(t) heb ik zelf al gevonden:
n(t) = -A exp(-at) + (1 + A)exp(rt)

Gevraagd:
(a) Het homogene deel, namelijk n'(t) = r n(t) stelt de natuurlijke groei van de bacteriën voor wanneer er geen antibioticum toegedient wordt. Als de bacteriepopulatie elke 30 minuten in aantal verdubbeld, wat is dan de waarde van r?
(b) de tweede term namelijk: - delta exp(- at) geeft de werking van het antibioticum weer. Wanneer het antibioticum op volle sterkte werkt dan doodt het: delta ·10^6 bacteriële cellen per minuut. hierbij is delta evenredig met de dosering (in gram) van het antibioticum: delta = 0.01d. Men neemt aan dat 1 gram van het antibioticum per minuut 10^4 cellen doodt. (dit moesten we bewijzen maar das geen probleem). De werking van het antibioticum neemt echter af in de loop van de tijd. na een uur heeft het de helft van zijn werkingskracht verloren. Bepaal hieruit de waarde van de constante a. (ik kwam iets uit van -0.29 , maar aangezien a een positieve constante is, denk ik dat mijn uitkomst niet oké is).

Alvast heel erg bedankt!!!

Gwen
19-8-2004

Antwoord

De homogene vgl luidt:
n'(t)=r.n(t) (met t in minuten)
De oplossing van de homogene vgl is:
n(t)=n₀.e^r.t
met n₀ de celpopulatie op t=0

De oplossing van de homogene vgl stelt de situatie voor waarbij het aantal bacteriele cellen vrij kan groeien zonder dat ze geremd worden door antibioticum.

Als je dus wilt weten wat de waarde van r is wanneer de populatie verdubbelt in 30 minuten (d.w.z n gelijk is aan 2.n₀) dan moet je oplossen e^r.30=2 Û 30.r=ln2 Û r=1/30.ln2

De d.v. is echter niet homogeen.
n'(t) (de groei) bestaat uit een toename-term (de r.n(t)) en uit een verzwakkingsterm (de -delta.e^-at)
Bekijken we nu deze groei-verzwakkings-term:

-delta.e^-at

Deze verzwakkingsterm is "op z'n best" op t=0. Want dan is de e-macht namelijk gelijk aan 1. Op ieder later moment is de e-macht kleiner dan 1 (doch groter dan 0) dus doet ie alsmaar meer afbreuk aan de verzwakkende werking van -delta.

Het antibiotucum heeft na een uur (dus 60 min) de helft van z'n werking verloren.
Er zal dus gelden: e^-a.60=1/2

Hieruit kun je direct a oplossen. En a zal blijken een *positief* getal te zijn.

groeten,

martijn

mg
19-8-2004