WisFaq!

Punt buiten driehoek berekenen

Ik heb een driehoek (eigenlijk een veelhoek). En ik wil daaromheen een evenwijdige driehoek tekenen met afstand m.
Als ik de coordinaten van punt a, b, c weet, hoe bereken ik dan b' ?

Floris
15-7-2004

Antwoord

Ik noem
A=(a₁,a₂)
B=(b₁,b₂)
C=(c₁,c₂)

We verschuiven nu driehoek ABC zo dat het beeld van B in de oorsprong O komt te liggen:
O=(0,0),
P=(p₁,p₂)=(a₁-b₁,a₂-b₂)
Q=(q₁,q₂)=(c₁-b₁,c₂-b₂)
Lijn OP heeft vergelijking p₁·y-p₂·x=0
Lijn OQ heeft vergelijking q₁·y-q₂·x=0

Er zijn twee lijnen evenwijdig met OP op afstand m:
p₁·y-p₂·x=+/-m·Ö(p₁²+p₂²)

Er zijn twee lijnen evenwijdig met OQ op afstand m:
q₁·y-q₂·x=+/-m·Ö(q₁²+q₂²)
Het juiste teken kunnen we bepalen m.b.v. de uitdrukking d=q₂·p₁-p₂·q₁.

We krijgen:
p₁·y-p₂·x=-sign(d)·Ö(p₁²+p₂²)=r en
q₁·y-q₂·x=sign(d)m·Ö(q₁²+q₂²)=s
(sign(d) is het teken van d)
Het snijpunt van deze twee lijnen is
x=(r·q₁-s·p₁)/(q₂·p₁-p₂·q₁)=(r·q₁-s·p₁)/d
y=(r·q₂-s·p₂)/d

Met gebruikmaking van sign(d)/d=1/|d| en teruginvullen van r en s krijgen we:
x=-m·(Ö(p₁²+p₂²)·q₁+Ö(q₁²+q₂²)·p₁)/|d|
y=-m·(Ö(p₁²+p₂²)·q₂+Ö(q₁²+q₂²)·p₂)/|d|
(|d|=abs(d) is de absolute waarde van d)

Terugschuiven naar de oorspronkelijke driehoek en met gebruikmaking van de volgende afspraken:
A=(a₁,a₂)
B=(b₁,b₂)
C=(c₁,c₂)
p₁=a₁-b₁
p₂=a₂-b₂
q₁=c₁-b₁
q₂=c₂-b₂
d=q₂·p₁-p₂·q₁.
lp=Ö(p₁²+p₂²)
lq=Ö(q₁²+q₂²)
krijgen we dan uiteindelijk:
xb'=b₁-m·(lp·q₁+lq·p₁)/|d|
yb'=b₂-m·(lp·q₂+lq·p₂)/|d|

En dat vind ik een behoorlijk mooi antwoord!

Mocht het gaan om 3 punten in de ruimte:
A=(a₁,a₂,a₃)
B=(b₁,b₂,b₃)
C=(c₁,c₂,c₃)
neem dan

p₁=a₁-b₁
p₂=a₂-b₂
p₃=a₃-b₃
q₁=c₁-b₁
q₂=c₂-b₂
q₃=c₃-b₃
lp=Ö
(p₁²+p₂²+p₃²)
lq=Ö(q₁²+q₂²+q₃²)
Voor d kan dan genomen worden:
d=Ö(lp²*lq²-(p₁q₁+p₂q₂+p₃q₃)²)
We krijgen dan:
xb'=b₁-m·(lp·q₁+lq·p₁)/d
yb'=b₂-m·(lp·q₂+lq·p₂)/d
zb'=b₃-m·(lp·q₃+lq·p₃)/d

Een afleiding van deze formule kan handig gebeuren langs de volgende weg:

Het punt b' moet liggen op de bissectrice van hoek ABC.
Het punt b', het punt b en de projectie van B op BC (of BA) vormen een rechthoekige driehoek.
Het is dan mogelijk de lengte van het lijnstuk bb' uit te drukken in m en de hoek ABC: Het lijnstuk bb' heeft de lengte m/sin(0.5hoek(ABC)).
Dit combineren met een vectorvoorstelling van de bissectrice van hoek ABC levert dan bovenstaande formule.

hk
15-7-2004