WisFaq!

Limiet met epsilon en N als functie van epsilon

Ik weet helemaal niet hoe ik aan de volgende opgave moet beginnen:
lim x-¥ x/(2x-1) = 1/2
Volgens de definitie betekent dit dat er voor elke e 0 een N bestaat, zodanig dat:
|x/(2x-1) - 1/2| e als x N

Bepaal de kleinste waarde van N, uitgedruk in e.

Hoe los ik zoiets op?

Alvast bedankt,
Martine.

Martine Vanderveken
3-6-2004

Antwoord

Hallo Martine,

|x/(2x-1) - 1/2| gaat naar nul als x zeer groot wordt. e is groter dan nul, maar klein. Dus voor een bepaalde waarde van x zal |x/(2x-1) - 1/2| juist e worden. Die x-waarde kan je dan N noemen. Of als je met rijen te maken hebt: rond de bekomen waarde af naar boven zodat je een natuurlijk getal uitkomt.

Nu, hoe los je |x/(2x-1) - 1/2| = e op? Wel, je kan zien dat x/(2x-1) - 1/2 positief is voor grote x-waarden (zet de uitdrukking maar eens op één noemer). Dus kan je de absolutewaardetekens laten vallen.

En x/(2x-1) - 1/2 = e oplossen zal dan wel geen probleem meer geven: gewoon alles maal 2x-1 en je bekomt een vierkantsvergelijking.

Groeten,
Christophe.

Christophe
4-6-2004