hallo
bij een bewijs over y=lnx is er een overgang:
lim 1/h ln(1+h/x) = 1/x lim ln(1+h/x)^(x/h)
=1/x · ln lim(1+h/x)^(x/h)
de limieten zijn voor h®0
mijn vraag: hoe komt plots de 1/x voor de limiet en (x/h) als macht? en hoe komt in de laatste regel plots de ln voor de limiet?
mvg
DennisDennis
28-5-2004
Het is de bedoeling om bij het getal e uit te komen met
e = lim(1 + k)1/k voor k®0
We hebben lim 1/h.ln(1+h/x) voor h®0 (*)
h/x stellen we gelijk aan k zodat k®0 als h®0
1/k moeten we dus als exponent proberen te krijgen.
Daarom maken we van (*) :
lim 1/x.x/h.ln(1+h/x)
De factor 1/x heeft met de limiet niets te maken (want h®0) en zetten we dus voor de limiet.
De factor x/h = 1/k kunnen we schrijven als exponent (eigenschap van ln).
We hebben 1/x.lim ln(1+h/x)x/h = 1/x.lim ln(1+k)1/k voor k®0
Nu is lim f(g(x)) = f(lim g(x)) (eigenschap van limieten)
Dus lim ln g(x) = ln lim g(x)
Dus krijgen we 1/x.ln lim(1+k)1/k voor k®0 = 1/x.ln e = 1/x
LL
28-5-2004
#24667 - Differentiëren - Student Hoger Onderwijs België