WisFaq!

Buigpunt van functie

Ik kan het buigpunt van de functie
f(x)=√(abs(x²-4)) maar niet vinden.
Daartoe moeten de nulpunten van de tweede afgeleide berekend worden. maar die vind ik niet! Dat is het probleem. als eerste afgeleide
heb ik: f(x)=x/(√(abs(x²-4)). Moet ik misschien rekening houden met die absolute waarde als ik afleid?
alvast bedankt
john

john
26-5-2004

Antwoord

Voor -2$<$x$<$2 geldt: f(x)=√(4-x²).
De grafiek hiervan is een halve cirkel.
Voor x$\geq$2 of x$\leq$-2 geldt f(x)=√(x²-4).
Deze stukken zijn delen van een hyperbool.
Alleen 'aansluitpunten' van de verschillende delen zouden dan nog in aanmerking kunnen komen als buigpunt.
Ziehier de grafiek



In de punten (2,0) en (-2,0) is de raaklijn aan de grafiek verticaal.
Deze punten zijn geen buigpunten, want de grafiek gaat in deze punten niet over van hol naar bol.

P.S.
In je vraag staan twee zaken die niet kloppen:

1) de afgeleide is niet goed. Je moet beide stukken afzonderlijk differentieren.

2)Een buigpunt hoeft niet perse te betekenen dat de tweede afgeleide nul is.

Bijvoorbeeld de grafiek van de derdemachtswortel uit x heeft een buigpunt in (0,0) terwijl de eerste en tweede afgeleide beide niet bestaan in dit punt.
Een goede definitie van een buigpunt is:
Een grafiek van een functie f heeft een buigpunt voor x=a als:

1) de grafiek van f een raaklijn heeft voor x=a.

2) De grafiek van f in dit punt overgaat van hol naar bol of omgekeerd. Dit is zo als f''(x) aan weerskanten van x=a een verschillend teken heeft.
Als je voor de twee definities van f in jouw opgave netjes f''(x) bepaalt dan zul je inzien dat f'' in alle punten (behalve x=-2 en x=2) negatief is.

Zie eventueel ook: buigpunten
Met dank aan Moderator en FvE.

hk
27-5-2004