WisFaq!

Hessiaan

Jups,

Bij de theorie van functies van 2 veranderlijke,kwam ik
het begrip Hessiaan tegen dat was de determinant:

$
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{f_{xx} } & {f_{xy} } \\
{f_{xy} } & {f_{yy} } \\
\end{array}} \right]
$

Hiermee konden we dan mee bepalen of je te maken had met relatief maximum of minimum, maar als ze me zouden vragen wat nu juist een Hessiaan is, zou ik dit moeilijk wiskundig kunnen uitleggen, hoe zouden jullie deze term definiëren?

Met vriendelijke groet

Yvonne
25-5-2004

Antwoord

dag Yvonne

De definitie van Hessiaan heb je al gegeven. Overigens is het gebruikelijker om de matrix zelf Hessiaan te noemen, en niet de determinant daarvan. De determinant is maar één getal, en daar kun je niet alles aan zien.

Als (voor een stationair punt van f) de Hessematrix H positief definiet is, dan is er sprake van een minimum.

Met positief definiet wordt in dit geval bedoeld:
det(H) $>$ 0 en bovendien H[1,1]$>$0

Je zou dit kunnen vergelijken met een 'gewone' functie van 1 variabele: daarbij kun je aan de tweede afgeleide zien of er een minimum is (f''(x)$>$0 in een punt waar f'(x) = 0)
Die Hessematrix is een soort van 'tweede afgeleide' van een functie van twee variabelen.

Voorbeeld:

$
f: = (x,y) \to x^2 - 3xy + y^4 + 5y^2
$

$
\left[ {\begin{array}{·{20}c}
2 & { - 3} \\
{ - 3} & {12y^2+ 10} \\
\end{array}} \right]
$

Het punt [0,0] is een stationair punt, zoals eenvoudig is na te gaan. Vul dit punt in in H. Zowel de determinant van H als H[1,1] zijn positief, dus H is positief definiet. Dat betekent dat f een minimum heeft in [0,0].

Ik hoop dat dit enig licht op de zaak werpt.
groet,

Zie Wikipedia | Hessiaan [http://nl.wikipedia.org/wiki/Hessiaan]

Anneke
25-5-2004