WisFaq!

Convergentie in de zin van distributies

Hoe correct te bewijzen dat lim(e®0) (e/(x²+e²) = Õd(x) met d de delta-functie... en deze convergentie in de zin van distributies...

katrien
24-5-2004

Antwoord

Hallo Katrien,

Dat is eenvoudig te bewijzen als je gebruik maakt van volgende hulpstelling:

Zij sÎL₁() en òs(x)dx=1 (integraal van min tot plus oneindig).
Definieer s_e(x)=s(x/e)/e voor alle e0.
Dan geldt: lim(e®0) s_e(x)=d(x)

Kies voor s(x) de functie ¹/_p(1+x²)

Dat zit in L₁(); de integraal daarvan is duidelijk 1, en de s_e convergeert dus naar d.

Nog eventjes die p naar de overkant sturen en dan staat er exact de uitdrukking die je wil bewijzen.

Christophe
24-5-2004