WisFaq!

Differentieren en primitiveren van logaritmen

Het differientieren van natuurlijke logaritmen en primitiveren geef nodige problemen. Ik zou graag wat uitleg hier over willen.

Bij voorbaat dank

M.J
4-4-2002

Antwoord

Als uitgangspunt geldt: als f(x)=ln(x), dan is f '(x)=1/x
Hierbij geldt wel dat x>0 moet zijn, want logaritmen van niet-positieve getallen bestaan niet.
Zodra er achter het functiesymbool 'ln' méér staat dan alleen maar x, wordt het moeilijker. Neem als voorbeeld de functie
f(x)=ln(5x-1).

Hierin zitten twee schakels opgesloten (je voelt hem al aankomen: de kettingregel!), namelijk x5x-1 en daarna uln(u).

De afgeleide is nu: de 'afgeleide van de tweede schakel' maal 'de afgeleide van de eerste schakel', in dit geval dus 1/u·5=5/(5x-1)

In het algemeen geldt het volgende:

als f(x) = ln[iets], dan is de afgeleide

f '(x)=1/[iets]·de afgeleide van [iets]

Nog twee voorbeelden:

f(x)=ln(2x²-3x), dan f '(x)=1/(2x²-3x)·(4x-3)=(4x-3)/(2x²-3x)

g(x)=ln(2+sin(x)), dan g'(x)=1/(2+sin(x))·cos(x)=cos(x)/(2+sin(x))

Nu iets over het, altijd veel moeilijker, integreren.

Als f(x)=1/(5x-1) moet worden geïntegreerd, dan moet je meteen gaan denken aan de functie F(x)=ln(5x-1).
Maar als je deze F weer differentieert, dan krijg je niet alleen de breuk 1/(5x-1) terug, maar ook het getal 5 (wat hierboven de afgeleide van [iets] werd genoemd).
Die extra 5 moet je dus op de een of andere manier zien kwijt te raken, en dat doe je door vssr je functie F(x) het getal 1/5 te zetten. Dus F(x)=1/5·ln(5x-1)

Nog eentje om het af te leren:

stel f(x)=-3/(1-2x).

Begin direct met F(x)=ln(1-2x) en kijk wat dit oplevert bij differentiëren.
Je krijgt de breuk 1/(1-2x), vermenigvuldigd met -2 (de afgeleide van 1-2x).
Maar in je functie f staat geen -2, maar -3.
Als je dan het getal 1,5 vssr je F(x) zet, dan klopt het precies!
Dus: F(x)=1,5·ln(1-2x)

Natuurlijk leer je met twee of drie voorbeeldjes niet even snel integreren. Zodra je een breuk tegenkomt met bijvoorbeeld een kwadratische noemer, dan wordt het al een enorm stuk lastiger en dan is de primitieve niet eens persé een ln-functie.
Troost je dus: integreren is gewoon een razend ingewikkeld proces en je kunt alleen in tamelijk simpele gevallen zelf iets beginnen. Er bestaan niet voor niets dikke boeken waarin vele tientallen soorten integralen en trucjes zijn verzameld en waarin je dan kunt opzoeken in welke categorie jouw specifieke functie valt.

Succes!

MBL
4-4-2002