WisFaq!

Abelse groep: oefening

hoi,

om te kijken of ik de theorie van algebraïsche structuren begrijp heb ik een oefening gemaakt, maar die hebben we niet verbeterd in klas (en nu is het blok) en k vroeg me af of jullie me kunnen zeggen of ze juist of fout is?

G,* is een groep en aÎG: a*a=n
bewijs dat Q,* commutatief is

wel ik zou dat als volgt oplossen:
commutatief dwz.: a*b = b*a
ik voeg lang beide zijden a toe: a*a*b = b*a*a
a*a = n : n*b =b*n
dus : b = b
dus G,* is commutatief.

Klopt mn redenering wel?

alvast bedankt -xXx-

L.V.
19-5-2004

Antwoord

Hallo,

Nee, dat klopt niet echt... Je moet bewijzen dat G,* commutatief is (je typte Q, maar dat zal wel gewoon een typo zijn denk ik). Maar in je bewijs gebruik je de commutativiteit, toch? Bijvoorbeeld door te vertrekken van a*b=b*a. En dan nog eens: je voegt a toe, maar in het linkerlid voeg je a toe aan de linkerkant: a*(a*b) en in het rechterlid doe je dat aan de rechterkant: (b*a)*a. En als je geen commutativiteit hebt mag dat dus niet, dan moet je alles aan dezelfde kant toevoegen.

Hoe kan het dan wel? Uit a*a=n voor elke a, kan je afleiden dat a=a^-1 voor elke a. (die n is hier toch het eenheidselement he?)

Dus hebben we: ab = (ab)^-1 = b^-1a^-1 = ba
En dit geldt voor alle a en b, dus heb je commutativiteit.

Groeten,
Christophe.

Christophe
19-5-2004