WisFaq!

Bepaalde Integralen

Kunnen jullie mij stap voor stap uitleggen hoe ik een bepaalde integraal kan oplossen, ik loop nogal vast namelijk.

Als voorbeeld graag:

$\int{}$ x·ln (x) dx = ¹/₂ (x gaat van 3 tot 1)

B.v.d

Niels

Niels Oudshoorn
14-5-2004

Antwoord

Beste Niels,

Je wilt weten voor welke bovengrens (want de ondergrens is 1, aangezien x $\in$ [1,3]) de integraal ₁$\int{}$^bx·ln(x)dx de waarde ¹/₂ heeft? Als je iets anders bedoelde reageer dan even.

Eerst gaan we de integraal onbepaald oplossen via partiële integratie. Stel f(x)=ln(x) $\Rightarrow$ f'(x)=¹/_x. g'(x)=x $\Rightarrow$ g(x)=¹/₂x².
$\Rightarrow$ $\int{}$x·ln(x)dx = ¹/₂x²·ln(x) - $\int{}$¹/₂x²·¹/_xdx
$\Rightarrow$ ¹/₂x²·ln(x) - ¹/₂$\int{}$xdx
$\Rightarrow$ ¹/₂x²·ln(x) - ¹/₄x² ofwel ¹/₄x²(2·ln(x)-1).

Dus bepaald ₁$\int{}$^bx·ln(x)dx = [¹/₄x²(2·ln(x)-1)]₁^b $\Rightarrow$ ¹/₄b²(2·ln(b)-1) + ¹/₄ = ¹/₂. Volgens Maple is b dan e^{1/₂LambertW(e-1)+1/₂}, dus b _$\approx$ 1,895025455.

Davy
14-5-2004