WisFaq!

Breuksplitsen (uitzondering)

Kunnen jullie mij helpen bij het oplossen van de volgende som?

$\int{}$ 3s-2
   ----  ds
s2+6s+11

Ik snap niet hoe ik aan het goede antwoord moet komen.

Alvast bedankt

Niels Oudshoorn
13-5-2004

Antwoord

Hoi Niels

deze gaat niet met 'breuksplitsen' (uitzondering)

We gaan er toch een ln van maken hoor.
$\int{}$^f'(x)dx/_f(x) = $\int{}$^df(x)/_f(x) = ln|f(x)| + c
We moeten dus zodanig prutsen tot we in de teller de afgeleide krijgen van de noemer met nog wat overschot
In jouw opgave is D(s²+6s+11)=2s+6
Wel, schrijf de teller 3s-2 = (³/₂)(2s+6)-11
De integraal splitst dus in (³/₂)$\int{}$^(2s+6)ds/_s²+6s+11 - 11$\int{}$^ds/_s²+6s+11
Het 1ste stuk is volgens mijn algemene uitleg hierboven dus:
(³/₂)ln|s²+6s+11|
(wil je dat volledig uitschrijven dat neem je als substitutie: y=s²+6s+11).

Het 2de stuk moeten we omvormen tot de grondintegraal:
$\int{}$^dx/_(1+x²) = Bgtan(x) + c'
In de noemer: s²+6s+11 gaan we een volkomen kwadraat afsplitsen: (s+3)²+2 is hetzelfde als de oorspronkelijk noemer
= 2+(s+3)² Die 2 zit in de weg. We zetten die voorop. Ze komt eigenlijk buiten de integraal onder die -11, volg je?
2de integraal is dus: (^-11/₂)$\int{}$^ds/_1+^(s+3)2/2
Substitutie: z =^(s+3)/_√2 levert: (^-11(√2)/₂)$\int{}$^dz/_1+z²
= ^-11(√2)/₂.Bgtan^(s+3)/_(√2)
Wellicht willen ze die (√2) weg uit de noemer. Vermenigvuldig dus achter Bgtan teller en noemer met (√2).

The result my friend is
(³/₂)ln|s²+6s+11| - ^(11√2)/₂Bgtan(^(√2)(s+3)/₂) + c
(constante niet vergeten hé; ik controleer altijd helemaal op het einde en zet er dan een c bij).

Gemakkelijk is dat niet hé Niels... (maar niet onmogelijk )

Frank

FvE
13-5-2004