WisFaq!

Deelgroepen

G,* is een groep en a Î G
Bewijs dat de verzameling van de elementen die met a commuteren, een deelgroep is van G,*

Hoe kan je dit bewijzen?

lien
13-5-2004

Antwoord

Controleer of de groepsaxioma's worden vervuld.
1) De associativiteit is verzekerd, want die geldt per definitie in G.

2) De eenheid e behoort tot de genoemde verzameling V, want e*a = a*e = a geldt altijd in een groep.

3) Als xÎV en yÎV, dan geldt x*a = a*x en y*a = a*y
Nu moet je nagaan of het product x*y óók tot V behoort.
(x*y)*a = x*(y*a) = x*(a*y) = (x*a)*y = (a*x)*y = a*(x*y) en daarmee zie je dat (x*y) met a commuteert.

4) Nu nog nagaan of, als xÎV, óók x^-1ÎV.
Vergelijk hiertoe bijvoorbeeld eens (x*a)*x^-1 met x*(x^-1*a).

(x*a)*x^-1=(a*x)*x^-1 = a*(x*x^-1) = a*e = a.

x*(x^-1*a) = (x*x^-1)*a = e*a = a

De conclusie is dus dat x*x^-1*a = x*a*x^-1 en door links met x^-1 te vermenigvuldigen,krijg je dat x^-1*a = a*x^-1

MBL
13-5-2004